数学人教版九年级上册课件.1.2垂径定理.ppt

24 1 2垂直于弦的直径 1 2 学习目标 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 活动一 已知 CD是 O的任意一条直径 A为 O上点C D以外的任意一点 求证 圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 分析 要证圆是轴对称图形 只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线 对称轴 的对称点也在圆上 证明 过点A作AA CD交 O于点A 垂足为M 连接OA OA 在 OAA 中 OA OA OAA 是 又 AA CD AM CD是AA 的 即对于圆上任意一点A 在圆上都有关于直线CD的对称点A O关于直线CD对称即圆是轴对称图形 任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 等腰三角形 MA 三线合一 垂直平分线 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB于E点 O A B C D E 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 把圆沿着直径CD折叠时 CD两侧的两个半圆重合 点A与点B重合 AE与BE重合 AC与BC重合 AD与BD重合 因此AE BE 即直径CD平分弦 并且平分AB及ACB AC BC AD BD O B C D A E O A B C D E 垂径定理 垂直于弦的直径 平分弦且平分弦所对的两条弧 归纳 条件 结论 换言之 垂径定理 若一条直线满足 条件 1 过圆心 2 垂直于弦 则它 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 垂径定理三种语言 定理垂直于弦的直径 平分弦且平分弦所的两条弧 CD AB 如图 CD是直径 AM BM O A B C D E 几何语言表达 下列图形是否具备垂径定理的条件 是 不是 是 火眼金睛 不是 借你慧眼 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD AB于E AE BE 1 如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 解 连结OA 作OE AB于点E 则OE 3厘米 AE BE AB 8厘米 AE 4厘米在RtAOE中 据勾股定理有OA 5厘米 O的半径为5厘米 练习 2 如图 AB是 O的一条弦 CD是直径 且AE BEOE 6 AB 16 求 O的半径 O A B C D E 练一练 例题 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 23m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 37m 7 23m A B O C D 解得 R 27 3 m 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt OAD中 由勾股定理 得 即R2 18 52 R 7 23 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 3m OA2 AD2 OD2 OD OC CD R 7 23 在图中AB 37 CD 7 23 3 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 提高练习 4 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 你认为AC和BD有什么关系 为什么 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE即AC BD 注意 解决有关弦的问题 常过圆心作弦的弦心距 或作垂直于弦的直径 它是一种常用辅助线的添法 总结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的弦心距 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 归纳小结 1 圆是 图形 所在的直线都是它的对称轴 2 垂径定理 平分弦 并且平分弦 推论 平分弦