高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式同步优化训练.docx

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )A.2 B.4 C. D.解析：y=sin2xcos2x=sin4x,所以最小正周期为T=.答案：D2.(高考全国卷，理10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)等于( )A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2sin2x+2,所以f(x)=2x2+2.因此f(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-1)+3=3+cos2x.答案：C3.已知为锐角，且sinsin=85，则cos的值为( )A. B. C. D.解析：由=2cos=，得cos=，cos=2cos2-1=2()2-1=.答案：C4.求下列各式的值：(1)coscos=_；(2)(cos-sin)(cos+sin)=_；(3)-cos2=_；(4)-+cos215=_；(5)=_解析：(1)原式=cossin=sin=；(2)原式=cos2-sin2=cos=；(3)原式=(2cos2-1)=cos=；(4)-+cos215=(2cos215-1)=cos30=；(5)原式=tan45=.答案：(1) (2) (3) (4) (5)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若tanx=2，则tan2(x-)等于( )A. B.- C. D.解析：tan(2x-)=-tan(-2x)=-cot2x=,而tan2x=-,原式=.答案：C2.当0x时，函数f(x)=的最小值为( )A.2 B. C.4 D.解析：f(x)=+4tanx=4，当且仅当tanx=时，取“=”.答案：C3.化简cos72cos36=_.解析：原式=.答案：4.在ABC中，tanA+tanB+tanAtanB且sinAcosA=，判断三角形的形状.解：由sinAcosA=，得sin2A=，即sin2A=，2A=60或120.A=30或60.又由tanA+tanB=(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=，A+B=120.当A=30时，B=90，tanB无意义，A=60,B=60，即三角形为等边三角形.5.平面上两塔相距120 m，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m、y m，且ADB=，AMB=.由题意，得CBD=2，AMC=90，AMB=MCD=，所以x=60tan，y=，x=120tan，y=120tan2.所以解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=，(1)求f(x)的定义域；(2)设是第四象限的角，且tan=-，求f()的值.解：(1)由cosx0,得xk+(kZ).故f(x)的定义域为x|xk+,kZ.(2)因为tan=,cos=，且为第四象限的角，所以sin=,cos=.故f()=2(cos-sin)=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知是第三象限的角，若sin4+cos4=，那么sin2等于( )A. B. C. D.-解析：(sin2+cos2)2=sin4+cos4+2sin2cos2=sin4+cos4+(sin2)2，而(sin2+cos2)2=1，可以得到sin2=，又由于是第三象限的角，所以sin2=.答案：A2.已知tan=，tan=，0,则+2等于( )A. B. C.或 D.解析：tan2=，tan(+2)=1.tan=1,0.tan2=1,02.0+2.+2=.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+)cos(x-)+sin2x的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos-sinxsin)(cosxcos-sinxsin)+sin2x=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+).原函数的值域是-2,2，周期T=.4.化简.解：原式=|sin5+cos5|+|sin5-cos5|=sin5+cos5+cos5-sin5=2cos5.5.求sin10sin30sin50sin70的值.解：原式=cos20cos40cos80=.6.已知sin22+sin2cos-cos2=1，(0,)，求sin,tan.解：由题意知4sin2cos2+2sincos2-2cos2=0，即2cos2(2sin-1)(sin+1)=0.又(0,)，sin+10,cos20.由2sin-1=0得sin=，=,tan=.7.已知sin(-)=，cos2=，求sin及tan(+).解：由sin(-)=,得(sin-cos)=，即sin-cos=. 又由cos2=得cos2-sin2=，即(cos+sin)(cos-sin)=，cos+sin=-. 由得sin=，cos=,tan=-.tan(+)=.8.当x-,时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期、最大值及此时的x值.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2.周期T=.当x-,时，2x+-,sin(2x+)-1,1.f(x),.f(x)max=.由2x+=2k+得x=k+.又x-,，x=,即当x=时，f(x)的最大值为.9.(2006高考安徽卷，理17)已知,tan+cos=.(1)求tan的值；(2)求的值.解：(1)tan+cos=,3tan2+10tan+3=0,解得tan=-或tan=-3.,-1tan0.tan=-.(2)tan=-,=.10.(2006高考四川卷，理17)已知A、B、C是ABC三内角，向量m=(-1,)，n=(cosA,sinA),且mn=1.(1)求角A；(2)若=-3，求tanC.解：(1)mn=1,(-1,)(cosA,sinA)=1,即sinA-cosA=1,2(sinA-cosA)=1,sin(A-)=.0A,-A-,A-=.A=