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2.3 幂函数课堂探究探究一幂函数的概念形如yx的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项例如y3x，yxx1，yx21等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：yx2是幂函数，y2x是指数函数【典型例题1】 函数f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，试确定m的值思路分析：由已知f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当x0时是增函数，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性确定m的值解：根据幂函数的定义，得m2m51，解得m3或m2，当m3时，f(x)x2在(0，)上是增函数；当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故m3.探究二幂函数性质的应用比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较【典型例题2】 比较下列各组数中两个数的大小：(1) 与；(2) 与；(3) 与.思路分析：(1)利用的单调性比较大小；(2)利用yx1的单调性比较大小；(3)利用中间量比较大小解：(1)幂函数在0，)上是增函数，又，.(2)幂函数yx1在(，0)上是减函数，又.(3)函数为减函数，且，.又函数在0，)上是增函数，且，.探究三 根据幂函数的性质求解析式【典型例题3】 已知幂函数f(x)x3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求f(x)思路分析：由f(x)在(0，)上单调递减求出m的范围，再根据mN*且图象关于y轴对称，确定m的值，进而写出f(x)解：函数在(0，)上单调递减，3m90，解得m3.又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1，f(x)x319x6.探究四 易错辨析易错点因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解【典型例题4】 若(a1)1(32a)1，求实数a的取值范围错解：考察幂函数f(x)x1.因为该函数为减函数，所以由(a1)132a，解得a.故实数a的取值范围是.正解：考察幂函数f(x)x1，由于该函数在(，0)及(0，)上均为减函数，且在(，0)上有f(x)0，所以由(a1)132a0，或32aa10，解得a1，或a.故实数a的取值范围是(，1).反思函数f(x)x1在(，0)和(0，)上均为减函数，但在(，0)(0，)上不具有单调
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