自动控制原理线性系统的根轨迹法

1 4 5广义 参数 根轨迹 前面讨论的都是以系统的开环根轨迹增益为参数的根轨迹 实际上 也可以绘制除以外的任何参变量的根轨迹 在绘制广义根轨迹时可将闭环特征方程式进行等效变换 写成类似标准形式 将特征方程式变换 2 例7 设单位反馈系统的开环传递函数为 其中开环增益可自行选定 试分析时间常数对系统性能的影响 解 闭环特征方程 要绘制参数根轨迹 首先要求出等效开环传递函数的极点 3 例8已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制以a为参变量的参数根轨迹的大致图形 4 解 系统开环传递函数 P116例题4 9已知具有两个负反馈回路系统如图所示 试以反馈系数为参变量绘制根轨迹 将特征方程式变换 5 求分离点或会合点 6 可以证明 该系统的根轨迹是一段以原点为圆心 半径为3的圆弧 7 1 增加开环极点 重心向右移 相对稳定性变差 2 增加开环零点 重心向左移 相对稳定性变好 4 6增加开环零极点对根轨迹的影响 8 3 增加开环偶极子 在原点附近增加开环偶极子 系统的动态性能变化不大 稳态性能得到提高 根轨迹局限 1 无闭环零点信息 2 表达稳态误差不直观 9 10 1 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性 设开环传递函数为 是附加的开环实数零点 其值可在s左半平面内任意选择 当时 表明不存在有限零点 令为不同的数值 对应的根轨迹见P 118图4 17所示 a 无开环零点 b c d 1 附加开环零点的作用 11 12 2 附加开环零点的目的 除了改善系统稳定性之外 还可以改善系统的动态性能 结论 只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当 才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善 13 应用根轨迹法 可以迅速确定出系统在某一可变参数值下的闭环零 极点位置 得到相应的闭环传递函数 根据闭环零极点分布 确定 估计 系统的性能 1 闭环零极点分布与单位阶跃响应的定性分析 设闭环传递函数 4 7用根轨迹分析系统性能 14 结论 1 Sk都具有负实部 在S左半平面 系统稳定 2 Sk远离虚轴 衰减快 上升快 调整短 3 Sk共轭极点位于射线 超调量小 4 Ak小 动态过程短 15 已知系统的闭环零点 极点定性地分析或定量地估算系统的性能 闭环零极点与时间响应的关系设系统闭环传递函数 系统的闭环极点 单位阶跃响应 近似结果 主导极点 非主导极点 16 2 闭环主导极点与闭环偶极子 闭环主导极点 一个或一对 在闭环极点中离虚轴最近 而且附近无零点 极点 对稳定系统动态性能的影响最大 起着主要作用 系统降阶 一 二阶 闭环偶极子 闭环极点和零点相距最近 影响小忽略 17 闭环极点 闭环零点 一对偶极子 实数偶极子 复数偶极子 如果这对偶极子不十分靠近坐标原点和其他极点 则它们对动态性能的影响可以忽略不计 偶极子一对相距很近的闭环零点 极点 18 如果偶极子十分接近原点 即 因此 靠近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑 偶极子的确定 闭环零 极点之间的距离比它们到其他极点的距离及其自身的模值小一个数量级 这对闭环零 极点构成偶极子 19 闭环传递函数 单位阶跃输入的响应 20 3 主导极点法估算系统性能 从闭环零 极点分布 系统性能的定量估算 错误 简化后 21 P123例4 11 1 根轨迹图见P102 1 3例4 1 稳定范围 0 K 3 22 P124例4 12 P124例4 13 闭环偶极子 相消 23 系统性能的定性分析 了解闭环零点和闭环实数主导极点对系统性能的影响非常重要 取Td 0 8 24 闭环零点的存在 将使得系统的峰值时间提前 这相当与减少了闭环系统的阻尼 从而使得系统的超调量加大 25 4 调节时间 主要取决于闭环复数主导极点的实部绝对值 如果是实数极点距虚轴最近 附近没有实数零点 取决于该极点的模值 1 稳定性 闭环极点全部位于左半S平面系统稳定性与闭环极点有关 与闭环零点无关 2 运动形式 闭环系统无零点 且闭环极点均为实数 时间响应一定是单调的 若闭环极点均为复数 时间响应一般是振荡的 3 超调量 超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率并与其它闭环零 极点接近坐标的程度有关 闭环系统零 极点位置对时间响应性能指标的影响 归纳为 26 5 实数零 极点影响 零点减小系统阻尼 使得峰值时间提前 超调量增大 实数极点增大系统阻尼 使峰值时间推迟 超调量减小 6 偶极子及其处理 远离原点及其他极点的偶极子 其影响可以忽略 但靠近原点的偶极子 其影响必须考虑 7 主导极点 比主导极点的实部大6倍以上的其它闭环零 极点 其影响可以忽略 27 习题 4 9设反馈控制系统中要求 1 概略绘出系统根轨迹图 并判断闭环系统的稳定性 2 如果改变反馈通路传递函数 使 试判断改变后的系统稳定性 研究由于改变所产生的效应 28 29 时稳定 30 4 15设系统如图所示 试作闭环系统根轨迹 并分析K值变化对系统在阶跃扰动作用下响应c t 的影响 31 0 k 1系统不稳定 在阶跃扰动n t n01 t 作用下 输出响应c t 振荡发散 K 1系统临界稳定 c t 等幅振荡 k 1系统稳定 c t 振荡收敛 4 15 1 绘制系统根轨迹图开环传递函数为 实轴上根轨迹 0 根轨迹与虚轴交点 由闭环特征方程 列劳思表 当K 1时 劳思表中出现全零行由辅助方程 得根轨迹与虚轴交点处 32 4 14设控制系统如图所示 其中Gc s 为改善系统性能而加入的校正装置 若Gc s 可从三种传递函数中任选一种 你选择哪一种 为什么 33 34 主导极点离虚轴太近 35 作业P125 129 4 2 4 5 1 4 74 10 4 12 4 14 1 4 15 4 16 4 19 36 P125习题4 2 用解析法绘制根轨迹图 37 P126习题4 5 1 会合点 分离点 求出射角 38 P126习题4 7 复数性质 实部为