高中数学5.3的证明5.3.3反证法知识导航学案苏教版选修.docx

5.3.3 反证法自主整理运用反证法证明不等式的主要步骤:第一步:作出与所证不等式_的假设;第二步:从_出发,应用正确的推理方法,推出_结论,_假设,从而证明原不等式成立.高手笔记用反证法证明不等式应把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有情况,做到完全否定,不能遗漏.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实,已知数学公理、定理矛盾,或自相矛盾,推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定的结论”在推理论证中往往作为已知条件使用.名师解惑反证法的理论依据是什么?剖析:我们知道,互为逆否命题的两个命题,其真假性是一致的,即原命题pq为真命题,则qp也必为真命题. 这是因为如果逆否命题qp为假的话,则qp是真的.于是有qpq,即qq,这显然是错误的. 所以我们可利用互为逆否命题的两个命题的等价性,证明其逆否命题成立来说明原命题成立. 反证法适用于正面不太容易证,而反面易证的情况,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”问题常用反证法.讲练互动【例1】设a、b、cR,a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0,求证:a0,b0,c0.分析:本题的条件比较复杂,所要证明的结论比较简单,即证“a、b、c都为正数”,可用反证法.证明:假设a、b、c不全大于0,不妨设a0.当a=0时,abc=0与abc0矛盾.当a0,bc0,b+c-a0.ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾.假设不成立.a0,b0,c0成立.绿色通道 “都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一个”,情况较多.本题中a、b、c同等地位,可不妨设a0,要全部否定,注意有“=”.变式训练1.若x0,y0,且x+y2,求证:、中至少有一个小于2.证明:假设、都大于等于2,即2,2.x0,y0,1+y2x,1+x2y.2+(x+y)2(x+y).x+y2,与x+y2矛盾.假设不成立.、中至少有一个小于2成立.【例2】设a、b、c(0,1),求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于.分析:本题结论情况较复杂,正面不易证出,可用反证法.证法一:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于,即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a.0a0.b0,(1-a)b()2.1-a+b1.ba.同理可得cb,ac.a+b+ca+b+c,即00,矛盾.假设不成立.(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于.证法二:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于,即有b-ab,c-bc,a-ac.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c.0a0.0(1-a)a2=.同理0(1-b)b,0矛盾.假设不成立,原结论成立.绿色通道 本题为否定性命题,用反证法证明并结合基本不等式完成推理.变式训练2.设0a、b、c1,(2-b)a1,(2-c)b1.0a0.1.22-a+c.ac.同理,ba,cb.a+b+ca+b+c.即00,矛盾.假设不成立.(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.【例3】已知f(x)=x2+px+q,求证:f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于.分析:本题是判断函数值的大小,但结论包括多种不同的情况,“至少”问题可用反证法.证法一:假设f(1)、f(2)、f(3)都小于,则f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q.f(1)+2f(2)+f(3)2.而f(1)+2f(2)+f(3)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,矛盾.假设不成立.f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于.证法二:假设f(1)、f(2)、f(3)都小于,即f(1),f(2),f(3).f(x)=x2+px+q,1+p+q,4+2p+q,9+3p+q,即-1+p+q,-4+2p+q,-9+3p