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明确思想方法解题触类旁通河北张家口市第十九中学贺峰数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣。 一、分类讨论思想分类讨论思想是根据问题的特点和要求，按照一定的标准将所要研究的和解决的问题分为几种情况或几个部分，然后再逐一研究和解决的数学思想。例1化简a的值为（）(A)0(B)2a(C)0或2a(D)不能确定析解：由于题中并没有说明a的取值范围，所以须对a进行分类讨论：（1）当a0时，aaa0（2）当a0时，a0（3）当a0时，aa(a)aa2a，故选C。评注：运用分类思想时，一定要做到有标准、不重复、不遗漏，否则会出现漏解或错解。二、数形结合思想数形结合思想是利用数量关系来研究图形的性质或利用图形的性质来确定数量关系，即借助数与形的相互转化来研究和解决问题的一种数学思想。图1例2求的值。析解：直接求值比较难，我们不妨构造如图1这样的一个图形，设大正方形的面积为1，若求的值，可以逆向思考，即求1即可。因此的值为1。评注：“以图识性，以性作图” 正是数形结合的思想的体现本题的解决将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来，从而使问题化难为易三、等积变换思想例3适当的剪几刀，可以把图中的十字变成一个正方形，有人说用两刀就可以，你相信吗？不妨试试看。析解：剪两刀即可，如下图所示：评注：本题能过剪切、拼接等数学活动将不规则图形变换为规则图形，在图形的变换过程中，虽然图形的形状发生了改变，但其面积并没有发生变化，这正是平面几何变换中的等积变换。四、转化（化归）思想转化（化归）思想是将研究和解决的问题通过变形，转化为已知的知识来处理的一种思想。例4一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位.析解：由于跳蚤的运动在一条直线上，因此其运动轨迹可转化为在一条数轴左右运动，设向左运动为负，负右运动为正，则问题转化为求12345699100的值，即为（12）（34）（56）（99100）50，因此当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是50个单位。评注：本题正是借助数轴将问题转化为有理数的加减运算，使抽象问题化归为具体且容易解决的简单问题，正是转化思想的体现。五、特殊到一般的思想图号顶点数x棱数y面数z(a)8126(b)(c)(d)(e)例5下列图形中，图(a)是正方体木块，把它切去一块，得到如图(b)(c)(d)(e)的木块(1)我们知道，图(a)的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图(b)、(c)、(d)、(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：(2)上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式析解：这个规律是非常著名的欧拉公式，通过观察，不难填写下表：图号顶点数x棱数y面数z(a)8126(b)695(c)8126(d)8137(e)10157（2）规律：xz2y评注：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和结论是解决这类问题一般方法。六、对应思想例6如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系01230210123021021412354230213456021圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a ；数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是 （用含n的代数式表示）析解：本题中数轴上的点与圆周上的点体现着一种相互对应关系，即数轴上0、3、6与圆周上的0相互对应，数轴上1、4、7与圆周上的1相互对应，数轴上2、5、8与圆周上的2相互对应，因此：（1）a2，（2）3n1。评注：有理数与数轴上的点既体现着一种特定的数形关系，同时也体现着一种对应关系，本题则以一种新的方式加强了对考生数形结合思想、对应思想的培养，题目新颖，贴近基础。七、建模思想例7某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由析解：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得：2x2280解这个方程，得：x960所以360答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐 （2）因为9605360255205300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全