高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案).doc

模块综合测试时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1命题“对任意的xR，x3x210”的否定是()A不存在xR，x3x210B存在xR，x3x210C对任意的xR，x3x210D存在xR，x3x210解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论答案：D2命题“若AB，则AB”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()A0个 B2个C3个 D4个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误答案：B3设椭圆的标准方程为1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是()A4k5 B3k3 D3k5k0，解得4k5.答案：A4已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若m，由面面垂直的判定定理，则，反之不成立答案：B5已知条件p：|x1|2，条件q：x25x60，则p是q的()A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分又不必要条件解析：命题p：1x3，记Ax|1x3，命题q：1x6，记Bx|1x6，AB，p是q的充分不必要条件答案：B6已知命题p：“xR时，都有x2x0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为()A5 B6C7 D8解析：由0，得，设|m，|n，不妨设mn，则m2n24c2，mn2a，mn9，解得故b3.因此ab7，选C.答案：C11在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.令x1，则n(1，1，1)，cosn，.直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.答案：C12双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)解析：由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|2|PF2|，如右图所示又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|2a，即|AF2|2a.|OF2|OA|ca2a.c3a.又ca，ac3a.13，即1e3.答案：B第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13命题p：mR，方程x2mx10有实数根，则“非p”形式的命题是_，此命题是_命题(填“真”或“假”)解析：命题p为特称命题，所以綈p是全称命题，綈p是mR，方程x2mx10没有实数根m2或m2时，0，即该方程有实数根，所以p真，綈p假答案：mR，方程x2mx10没有实数根假14双曲线1的离心率e(1,2)，则其中一条渐近线的斜率取值范围是_解析：e(1,2)，解得0，又双曲线的渐近线方程为yx，故其中一条渐近线的斜率取值范围是(0，)或(，0)答案：(0，)或(，0)15如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA平面ABCD，OA2，M为OA的中点则异面直线OB与MD所成角余弦值为_.解析：以A为原点建立空间直角坐标系，如图则(2,0，2)，(0,2，1)设，所成的角为，则cos.答案：16若直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则|AB|_.解析：k2x2(4k8)x40，x1x24，得k1或2，当k1时，x24x40有两个相等的实数根，不合题意当k2时，|AB|x1x2|2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知p：方程1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式t2(a1)tat10.解得1t1.(2)p是q的充分不必要条件，t|1t1是不等式t2(a1)ta1时，不等式的解集为t|1t1.当a1时，不等式的解集为，不满足题意当a1时，不等式的解集为t|at1.18(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则，即，可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19(12分)已知定点F(0,1)和定直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求的最小值解：(1)由题意，点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意，直线PQ的斜率存在，且不为0，设直线l2的方程为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.易得点R的坐标为，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448，k22，当且仅当k21时取到等号，42816，即的最小值为16.20(12分)设F1，F2分别是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|a.(1)求该椭圆的离心率(2)设点M(0，1)满足|MP|MQ|，求该椭圆的方程解：(1)直线PQ斜率为1，设直线l的方程为yxc，其中c.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P，Q两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.所以|PQ|x2x1|a.得a，故a22b2，所以椭圆的离心率e.(2)设PQ的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|MP|MQ|得kMN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆的方程为1.21(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)求证：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如右图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)(1)证明：(0,1，2)，(2,0,0)，所以0，所以PCAD.(2)解：(0,1，2)，(2，1,0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即不妨令z1，则x1，y2，故平面PCD的一个法向量为n(1,2,1)可取平面PAC的法向量为m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n，所以二面角APCD的正弦值为.(3)解：设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2，由此得，又(2，1,0)，故cos，所以cos30，解得h，即AE.22(12分)(2014大纲全国卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程解：(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy