高中数学函数与方程的思想课件.ppt

函数与方程的思想 兖州市第六中学徐洪艳 2009年新课标考试大纲 明确指出 数学知识是指 普通高中数学课程标准 实验 中所规定的必修课程 选修课程系列2和系列4中的数学概念 性质 法则 公式 公理 定理以及由其内容反映的数学思想方法 其中数学思想方法包括 函数与方程的思想方法 数形结合的思想方法 分类整合的思想方法 特殊与一般的思想方法 转化与化归的思想方法 必然与或然的思想方法 函数与方程思想是最重要的一种数学思想 几乎渗透到中学数学的各个领域 在解题中有着广泛的应用 函数与方程思想涉及的知识点多 面广 综合知识多 题型多 应用技巧多高考中所占比重较大 是历年高考经久不衰的热点和重点 与函数相关的试题所占比例始终在20 左右 且试题中既有灵活多变的客观性试题 又有一定能力要求的主观性试题 函数与方程的思想 函数思想的应用主要表现在两个方面 一是借助有关初等函数的性质 解有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 二是通过建立函数关系式或构造中间函数 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 达到化难为易 化繁为简的目的 有些方程问题可以用函数的方法解答 反之 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 而且要常常借助函数的图象进行转化 函数与方程的思想 函数与方程思想的几种常见题型 1 对基础函数及其性质的直接考查对于一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数和三角函数的解析式 图象及其定义域 值域 单调性 奇偶性等性质的考查是高考的重点内容 可直接考查 但要注意要以函数的定义域为前提 以函数的图象为依托解决问题 函数与方程的思想 2 构造函数或构造方程解决有关问题如果给出的问题本质上是关于函数的理论或符合方程的某些特点 可考虑构造一个辅助函数或一个方程 把问题转化为函数或方程的研究 从而使问题获得解决 特别是在研究函数的单调性 导数的应用 不等式的证明方法时常用 用导数解决函数的单调性问题是知识的交汇处 常出现综合性考题 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 3 函数与方程思想在不等式 函数方程中的应用函数与方程 不等式密切相关 利用函数概念 性质 图象 把函数 方程 不等式转化求解 特别在不等式的证明 含参数的范围问题中有着广泛的应用 要密切注意三个 二次 的相关问题 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 4 函数与方程思想在数列中的应用数列实质就是特殊的函数 数列的通项公式 前n项和公式实质上就是函数解析式 从函数角度研究等差数列 当时 的通项公式为关于n的一次型函数 前n项和公式为关于n的没有常数项的二次函数 常用来研究的最值 从方程观点研究等差数列对于中五个量通过解方程组做到知三求二 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 5 函数与方程思想在解析几何中的应用在解析几何中考查最值问题是高考的重点和热点 求解的关键是建立目标函数 再求函数最值 至于如何求最值应视函数式的特点而定 直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的压轴题 这里面包含着方程组的解法 特别是应用韦达定理求解问题时 要注意判别式要大于等于0 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 6 函数与方程思想在立体几何中的应用利用函数思想求解立体几何中的最值问题常借助函数思想求得 通过引入参数 构造方程和函数 利用其判别式及求最值的方法可以使问题得到迅速解决 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 7 函数与方程思想在二项式定理 三角中的应用函数 与二项式定理密切相关 利用这个函数可用赋值法和比较系数法求解与二项式定理有关的系数和问题 三角函数中也涉及函数的思想 研究三角函数的最值和范围 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 8 函数与方程思想在实际问题中的应用数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一 常以实际问题为背景 以函数思想为载体 以不等式 导数 三角函数等为工具 自然地将导数 函数 方程 不等式 三角函数等重要数学基础知识有机交汇融为一体 函数与方程思想的几种常见题型 函数与方程的思想 1 方程的思想 2 利用函数与方程的性质解题例3 08安徽卷 理11 若函数分别是上的奇函数 偶函数且满足则有 a b c d 分析 要比较函数值的大小 就要由已知条件求得函数解析式 本题中的都未知 只有一个等式 就需要我们再挖掘一个等式 由函数的奇偶性容易想到用替换 从而得到两个方程组成方程组解出 解 因为 用替换得 因为函数分别是上的奇函数 偶函数 所以又解得 而单调递增且 而 故选 评注 本题中利用函数的性质再得一方程 通过解方程组求得函数的解析式 再回归到函数的单调性比较函数值的大小关系 是函数与方程的较好得结合 例5 08山东理3 函数的图象是 解析 本题中的函数为陌生函数 可以从研究函数的性质入手解答 由选择支不难发现函数图象的对称性 可想到研究函数的奇偶性 此函数为偶函数 排除b d 又由知函数值为负值 故选a 3 构造函数解题例6 08天津卷理16 设若仅有一个常数c使得对于任意的 都有 满足方程这时 的取值的集合为 分析 题目给出的方程中含有等多个字母 而条件中是对任意的都有 这使我们联想到函数的定义域 值域 所以必须把方程改写为关于的函数 再进一步研究函数的性质 评注 本题看似方程问题 实质是函数问题 通过分析 转化为函数 并运用函数的性质将问题转化为不等式组解出 本题中自觉地 巧妙地运用函数的思想来指导解答问题 4 函数与方程不等式的转化例7 2008广东卷 理14 已知 若关于的方程有实根 则的取值范围是 分析 求参数的范围 可以先将分离出来 表示为的函数 求出函数的值域 进而得到参数的范围 解 方程利用绝对值的几何意义 得可得实数的取值范围为 评注 本题将方程转化为函数 利用函数的值域得到的不等式 求得参数的范围 分析 本题是研究二次方程的实根分布问题 可以转化为二次函数的零点的确定 并由二次函数的图象转为函数值表示的不等式组解出 解 设函数 关于x的方程的两根满足 评注 对于二次方程的实根分布问题 要转化为二次函数的零点的分布 由二次函数的图象和各端点对应的函数值以及二次项系数和对称轴解答 故选择b 分析 不等式 方程 函数可以相互转化 可以通过构造函数 借助函数的图象来解答 解 构造函数由于当时 不等式恒成立 等价于在区间上函数的图象位于轴下方 由于函数的图象是开口向上的抛物线 故只需即 解得 5 函数与方程在立体几何中的应用例10 2008北京卷 理8 如图 动点在正方体的对角线上 过点作垂直于平面的直线 与正方体表面相交于设 则函数的图象大致是 p 分析 本题是立体几何与函数的交汇题 可以先观察题目并进行空间想象加以判断 再由的特殊性与平面垂直 可以把向平面内作正投影 保持其长度不变 从而把空间问题转为平面问题 在平面内研究函数关系即可顺利完成 解 设正方体的棱长为 由图形的对称性知点始终是的中点 而且随着点从点向的中点滑动 值逐渐增大到最大 再由中点向点滑动 而逐渐变小 排除 把向平面内正投影 则 由于 所以当时 为一次函数 故选 评注 本题为函数的变化趋势问题 通过观察进行理性地分析 再从数值上加以运算 6 函数与方程在解析几何应用例11 2008山东淄博 若 分别是椭圆的左 右焦点 若是该椭圆上的一个动点 求的最大值和最小值 设过定点 1 2 的直线与椭圆交于两不同的点 且为锐角 其中为坐标原点 求直线的斜率的取值范围 分析 中可以设出点的坐标 用坐标表示出 得到函数求最值 中研究直线与椭圆的交点 需要解方程组 由韦达定理解答即可 7 函数与方程在导数中的应用例12 2008湖南卷 理21 已知函数 i 求函数的单调区间