高中数学圆的方程5课件苏教版必修二.ppt

圆的方程 教学目的 掌握圆的标准方程 能根据圆心坐标 半径熟练写出圆的标准方程 由圆的标准方程熟练求出圆的圆心和半径 能根据不同条件 利用待定系数法求圆的标准方程 利用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 培养学生数形结合思想 训练学生分析问题 解决问题的能力 重点难点分析 教学重点 根据不同条件 求圆的标准方程 教学难点 利用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 复习与引入 求曲线方程的一般步骤是怎样的 圆的集合性定义是怎样 新课开始 问题1 已知圆的圆心坐标为c a b 半径为r 求圆的方程 解 设m x y 是圆上任意一点 根据定义 点m到圆心c的距离等于r 所以圆c就是集合p m mc r 由两点间的距离公式 点m适合的条件可表示为 1 把 1 式两边平方 得 2 方程 2 就是圆心为c a b 半径为r的圆的方程 我们把它叫做圆的标准方程 如果圆心在坐标原点 那么圆的标准方程是什么 x2 y2 r2 o x y m x y c a b 圆的标准方程特征 1 含有三个参数a b r 因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆 2 从圆的标准方程可以直观地看出圆的圆心和半径 其中圆心 a b 定位 半径定形 例题讲解 例1判断下列命题是否正确 1 圆 x 1 2 y 2 2 3的圆心坐标是 1 2 半径是3 2 圆 2x 2 2 2y 4 2 2的圆心坐标为 2 4 半径为 2 3 圆 x 1 2 y 2 2 m2 m 0 的圆心坐标为 1 2 半径为m 圆心 1 2 半径 3 圆心 1 2 半径 m 例2求满足下列条件的各圆的方程 1 以c 1 3 为圆心 并且和直线3x 4y 7 0相切的圆 解 已知圆心是c 1 3 那么只要再求出圆的半径r 就能写出圆的方程 因为圆c和直线3x 4y 7 0相切 所以半径r等于圆心c到这条直线的距离 根据点到直线的距离公式 得 o x y m 1 3 3x 4y 7 0 2 圆心在x轴上 半径为5且过点a 2 3 的圆 解 设圆心在x轴上 半径为5的方程为 x a 2 y2 52 点a 2 3 在圆上 2 a 2 3 2 52 a 2或6 所求的圆的方程为 x 2 2 y2 25或 x 6 2 y2 25 方法总结 此方法属于待定系数法 3 过点a 1 2 和b 1 10 且与直线x 2y 1 0相切的圆的方程 解 设所求圆方程为 x a 2 y b 2 r2 线段ab的垂直平分线为y 6 圆心坐标为 a 6 圆的方程可以写成 x a 2 y 6 2 r2 直线x 2y 1 0与圆相切 解得a 7或3 r2 80或20 所求圆的方程为 x 7 2 y 6 2 80或 x 3 2 y 6 2 20 x y o x 2y 1 0 1 a 1 2 b 1 10 c a 6 评注 1 求圆的方程常用方法 1 定义法 2 待定系数法 2 解题时注意充分利用圆的几何性质 3 用待定系数法求圆的方程一般步骤为 1 根据题意 设所求方程为 x a 2 y b 2 r2 2 根据已知条件 建立关于a b r的方程或方程组 3 解方程或方程组 求出a b r的值 并把它们代入所设方程得所求解方程 例3已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点m x0 y0 的切线方程 解一 如图 设切线的斜率为k 半径omom的斜率为k1 因为圆的切线垂直于过切点的半径 于是k 1 k1 m x0 y0 o x y 例3已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点m x0 y0 的切线方程 解二 设p x y 是切线上任一点 连om op 根据勾股定理可得 om2 mp2 op2 再利用两点间距离公式也可求得切线方程为xx0 yy0 r2解三 设p x y 是切线上任一点 连om 由om mp可知 再利用数量积的坐标即可求得切线方程为xx0 yy0 r2问题 已知圆的方程为x2 y2 8求经过圆上一点m 2 2 的切线方程 m x0 y0 o x y p x y 2x 2y 8 即x y 4 0 例4如图是某拱桥的一孔示意图 该圆拱跨度b 20cm 拱高op 4cm 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱a2p2的长度 精确到0 01m 解 建立坐标系如图所示 圆心在y轴上 设圆心的坐标是 0 b 圆的半径是r 那么圆的方程是x2 y b 2 r2 因为p b都在圆上 所以它们的坐标 0 4 10 0 都是这个圆的方程的解 于是得到方程组 a a1 a2 p2 a3 a4 b 02 4 b 2 r2 102 0 b 2 r2 解得b 10 5 r2 14 52所以这个圆的方程是x2 y 10 5 2 14 52 把点p2的横坐标x 2代入这个圆的方程 得 2 2 y 10 5 2 14 52 课堂练习 课本p 练习 补充练习 求满足下列条件的各圆的方程 1 已知圆过两点a 3 1 b 1 3 且它的圆心在直线3x y 2 0上 2 已知圆与y轴相切 圆心在上 且被直线y x截得弦长为 x 2 2 y 4 2 10 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 课堂小结 1 求圆的方程常用方法 1 定义法 2 待定系数法 2 解题时注意充分利用圆的几何性质 3