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几种常见函数的导数 一 复习 1 解析几何中 过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值 物理学中 物体运动过程中 在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等 都是极限思想得到本质相同的数学表达式 将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式 导数 导数源于实践 又服务于实践 2 求函数的导数的方法是 说明 上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数 3 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 4 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 5 求切线方程的步骤 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 二 新课 几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式 公式1 公式2 公式3 公式4 三 例题选讲 例1 求过曲线y cosx上点p 且与过这点的切线垂直的直线方程 注 满足条件的直线称为曲线在p点的法线 oax mp y 例2 如图 质点p在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动 角速度1rad s 设a为起始点 求时刻t时 点p在y轴上的射影点m的速度 解 时刻t时 因为角速度1rad s 所以 故点m的运动方程为 y 10sint 故时刻t时 点p在y轴上的射影点m的速度为10costcm s 例3 已知两条曲线y sinx y cosx 问是否存在这两条曲线的一个公共点 使在这一点处 两条曲线的切线互相垂直 并说明理由 解 设存在一个公共点p x0 y0 满足题设条件 由两条曲线的切线在点p互相垂直 则cosx0 sinx0 1 得sinx0cosx0 1 即sin2x0 2 这不可能 所以不存在满足题设条件的一个点 练习1 曲线y sinx在点p 处的切线的倾斜角为 例4 已知曲线在点p 1 1 处的切线与直线m平行且距离等于 求直线m的方程 设直线m的方程为3x y b 0 由平行线间的距离公式得 故所求的直线m的方程为3x y 6 0或3x y 14 0 四 小结与作业 1 要切实掌握四种常见函数的导数公式 1 c为常数 2 3 4 2 对于简单函数的求导 关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式
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