高中数学数系扩充课件选修1.ppt

3 1数系的扩充 数学是为生活和生产服务的 数学从生活中来到生活中去 从社会生活来看 数的概念是从实践中产生和发展起来的 人类早在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力 从这种原始 数觉 到抽象的 数 概念的形成 是一个缓慢的 渐进的过程 开始时用手指计数 当手指不敷运用时 用小石子检查放牧归来的羊的只数 出现了石子记数 用结绳的方法统计猎物的个数 称为结绳记数 用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量为刻痕记数等等 为了记数的需要产生了自然数 为了测量产生了分数 为了刻画相反意义的数产生了负数 为解决度量正方形对角线长的问题出现了无理数 从数学内部来看 数集是在按某种 规则 不断扩充的 在自然数集中 加法和乘法总可以实施 由于小数不能减大数 要使x 4 0有解 从而引入 自然数集扩充到整数集 在整数集中 加法 减法和乘法总可以实施 由于除法只能解决整除问题 要使方程3x 2 0有解 为此引入 整数集扩充到有理数集 在有理数集里加 减 乘和除 除数不为零 总可实施 要使x2 2 0有解 为此引入 有理数扩充到实数集 思考1 以上数系扩充的过程是 每一次数的概念发展 都是在原来数集基础上 添加 一种新的数得来在新的数集中 原来的运算和性质仍然使用 同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾 思考2 在实数集中 方程x2 1 0无解 为使方程x2 1 0有解 实数集应怎样扩充呢 无理数 分数 负数 其中a叫做复数 的 b叫做复数 的 全体复数集记为 为此 我们引入一个新数i 叫做虚数单位 对虚数单位i的规定 i2 1 i可以与实数一起进行四则运算 并且加 乘法运算律不变 表示方法 我们把形如a bi 其中 的数 a b r 称为复数 记作 即z a bi z 实部 z 虚部 c 有时把实部记成为re z 虚部记成为im z z 1 复数z a bi a b r 当且仅当 z是实数 当 时 z叫虚数 b 0 虚数 b 0 特别的当a 0时 纯虚数 2 a 0是z a bi a b r 为纯虚数的条件 必要不充分 注意 概念理解练习1 显然 实数集r是复数集c的集合关系 即r c b 0 b 0 特别的当a 0且b 0时 z叫纯虚数 3 下列复数中 哪些是实数 哪些是虚数 哪些是纯虚数 例1 实数m取什么值时 复数z m m 1 m 1 i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 变式 已知复数z 试求实数a取什么值时 z分别为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 2 两个复数相等 设z1 a bi z2 c di a b c d r 则z1 z2 即实部等于实部 虚部等于虚部 特别地 a bi 0 a b 0 注意 一般地 两个复数只能说相等或不相等 而不能比较大小 思考3 对于任意的两个复数到底能否比较大小 答案 当且仅当两个复数都是实数时 才能比较大小 即 若z1 z2z1 z2 r且z1 z2 例2 已知 x y x 2y i 2x 5 3x y i 求实数x y的值 解 有两个复数相等的充要条件得 解得 x 3 y 2 变式 已知z 其中 求x与y的值 2 已知关于x的方程x2 1 2i x 3mi i 0有实根 求纯虚数m的值 1 已知方程 1 i x2 2 a i x 5 3i 0有实数解 a为实数 求a的值 解 设方程的解为x0 1 由于i2 1 知i为 1的一个 1的另一个 一般地 a a 0 的平方根为 i 2 平方根 平方根为 i a a 0 的平方根为 2 已知z m2 1 i m i m为实数 当m为何值时 复数z是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 通过本节课的学习 你掌握了那些知识 一 我们引入一个新数i 叫做虚数单位对虚数单位i的规定 i2 1 i可以与实数一起进行四则运算 并且加 乘法运算律不变 复数z a bi a b r 当且仅当b 0 z是实数 当b 0时 z叫虚数 特别的当a