高中数学第二章 中国古代数学瑰宝课件选修三.ppt

第二章中国古代数学瑰宝 2 1古算明珠 方程术 与 正负术 虽天圆穹之象犹曰可度 又况泰山之高与江海之广哉 刘徽 中国古代最重要的数学经典 九章算术 约公元前2世纪 卷8的 方程术 是解线性方程组的算法 以该卷第1题为例 今有上禾三秉 中禾二秉 下禾一秉 实三十九斗 上禾二秉 中禾三秉 下禾一秉 实三十四斗 上禾一秉 中禾二秉 下禾三秉 实二十六斗 问上 中 下禾实一秉各几何 该问题相当于解一个三元一次方程组 设上 中 下禾一秉实依次是x y z 求解线性方程组 方程术曰 置上禾三秉 中禾二秉 下禾一秉 实三十九斗于右方 中 左禾列如右方 按照方程术术文 将此题演算过程表示如下 古代竖为行 横为列 且从左到右 与今天习惯相反 以右行上禾遍乘中行 而以直除 以右行上禾系数3乘整个中行 然后以右行对减中行 两度减 中行上禾系数变为0 又乘其次 亦以直除 复去左行首 以右行上禾系数3乘整个左行 以右行对减左行 左行上禾系数变为0 然以中行中禾不尽者遍乘左行 而以直除 左方下禾不尽者 上为法 下为实 实即下禾之实 以中行中禾系数5乘左行整行 以中行对减左行 四度减 则左行中禾系数亦化为0 下禾系数为36 实为99 下禾系数与实有公因子9 以其约简 下禾系数变为4 作为法 实为11 只是下禾的实 求中禾 以法乘中行下实 而除下禾之实 余 如中禾秉数而一 即中禾之实 为了求中禾 以左行的法乘中行的下实 减去左行下禾的实 在此问中即24 4 11 1 该运算的余数 除以中行中禾的秉数 就是中行的实 仍以左行之法为法 此问中即 24 4 11 1 5 17 以4为法 求上禾 亦以法乘右行下实 而除下禾 中禾之实 余 如上禾秉数而一 即为上禾之实 为了求上禾 以左行之法乘右行下实 减去左行下禾实乘右行下禾秉数 再减去中行中禾实乘右行中禾秉数 此问中即39 4 11 1 17 2 该运算的余数 除以右行上禾秉数 就是上禾之实 仍以左行之法为法 此问中就是 39 4 11 1 17 2 3 27 仍以4为法 实皆如法 各得一斗 实除以法 得到上禾1秉之实为x 9斗 中禾1秉之实y 4斗 下禾1秉之实z 2斗 筹算解线性方程组举例 二 九章算术 及刘徽注 今有卖牛二 羊五 以买一十三豕 有余钱一千 卖牛三 豕三 以买九羊 钱适足 卖六羊 八豕 以买五牛 钱不足六百 问牛 羊 豕价各几何 答曰 牛价一千二百 羊价五百 豕价三百 术曰 如方程 解 设牛 羊 猪单价依次是x y z 求解线性方程组 得到牛价为x 1200 羊价为y 500 豕价为z 300 著名的数学著作 九章算术 大约编于公元四 五十年间的东汉初期 这部书是采用问题集的形式编的 共有二百四十六个问题 分成方田 粟米 衰分 少广 商功 均输 盈不足 方程和勾股九章 方田章讲的是各种分数计算和方田 梯形田 斜方形田 圆田 半圆形田 弧田 环形田等的面积计算 粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算 衰分章讲的是一些按比例分配的问题 少广章讲的是由已知面积和体积 反求边的长短和面的宽广的问题 其中总结出了开平方和开立方的方法 商功章讲的是计算各种体积的方法 主要解决筑城 建堤 挖沟 修渠等实际工程问题 均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法 盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用 方程章讲的是正负数算法 还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法 勾股章叙述了勾方 股方的和等于弦方的勾股定理 以及相似直角三角形解法的问题 九章算术 的内容丰富多彩 包括了许多算术 几何 代数和三角的知识 是一部非常杰出的数学专著 它对我国数学的发展影响深远 九章算术 不只在中国数学史上占有十分重要的地位 而且影响远及国外 朝鲜和日本都曾经用它作为教科书 欧洲在中世纪的一些算法 比如分数和比例就很可能是从中国传入印度 再经阿拉伯传入欧洲的 在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中 把 盈不足 称为 中国算法 就是一个证明 现在 九章算术 已作为世界科学名著 被译成许多种文字出版 正负术 正负术是 九章算术 方程章提出的正负数加减法则 一则方程术中用直除法消元时会出现以小减大的情形 再则通过损益术列方程 这都会产生负数 正负术曰 同名相除 异名相益 正无入负之 负无入正之 其异名相除 同名相益 正无入正之 负无入负之 前四句是减法法则 若二数同号 则 若二数异号 则若没有与之对减的数 则 后四句是加法法则 若二数异号 则 若二数同号 则 若没有与之对加的数 则 在 九章算术 中 正负术只用于方程术 并且 在实际上不仅使用了正负数的加减法 而且使用了正负数的乘除法 不过 现有资料中 正负数的乘法法则在 算学启蒙 中才给出 祖冲之很可能研究过负系数开方问题 现存资料中讨论负系数开方问题最先出现在北宋刘益的 议古根源 中 雀燕集衡 这是 九章算术 方程章的一个题目 今有五雀六燕 集称之衡 雀俱重 燕俱轻 一雀一燕交而处 横适平 并雀 燕重一斤 问雀 燕一枚各重几何 设x y分别为雀 燕一枚重 九章算术 的解法是通过损益术列出方程 用直除法消元后求出雀一枚两 燕一枚两 刘徽提出了新的解法 两行直接相减得因此 任取一行 比如右行 用今有术将雀化为燕 便有 于是 这正是方程新术的基本思想 方程新术是在方程章麻麦问中详细阐述的 是刘徽的一项创造 五家共井 这也是 九章算术 方程章的一个题目 今有五家共井 甲二绠不足 如乙一绠 乙三绠不足 以丙一绠 丙四绠不足 以丁一绠 丁五绠不足 以戊一绠 戊六绠不足 以甲一绠 如各得所不足一绠 皆逮 问井深 绠长各几何 设x y z u v w分别为甲 乙 丙 丁 戊绠长及井深 6个未知数 依题意只可列出5行方程 九章算术 遂以265 191 148 129 76 721分别为甲 乙 丙 丁 戊绠长及井深 这是在中国数学史上第一次明确提出不定方程问题 九章算术 只是给出了最小的一组正整数解 2 2 韩信点兵 与中国的剩余定理 从 鬼谷算 的猜岁数游戏谈起猜谜语这种民间游戏 在中国有几千年的历史了 可是你知道不知道还有一种猜岁数的游戏在一千多年前也曾是中国人民的一种游戏 让我们借想像的羽翼飞到那古老的年代 飞到那位于富庶肥沃的关中平原 那 诗经 所说 径以渭蜀 的径水 渭水流域上的古城长安 长安是个像杜甫的诗歌所描写的 渔阳豪侠地 击鼓吹笙竽 云帆转辽海 粳稻来东吴 越罗与楚练 照耀与台躯 一个很热闹繁华的城市 我们不单听到吹竽鼓瑟 击筑弹琴 也见到斗鸡走犬 而位于大街的酒家 高朋满座 最热闹的是靠南城门的墙脚地方 只见许多人围绕在一个竹竿高挂上写 鬼谷神算 的布条下 挤进去看 我们看到一个有仙风道骨模样的老人对另一位老观众说 大爷不需告诉我岁数 只需讲你的岁数除以二 三 五后的余数是多少 就可以了 用二除嘛 余一 用三除嘛 也是余一 用五除嘛是余三 只见算命先生摆弄一下竹筹 就说 大爷今年73岁了 有道是人生七十古来稀 大爷童颜鹤龄 龙马精神 真是有福 他算对了 是怎么样算出来呢 同余的概念 首先让我介绍德国数学家高斯在200年前想出的一个数学上很重要的概念 同余 给定一个正整数n 我们说两个数a b是对模n同余 如果a b是n的倍数 用符号a b modn 来表示 比方说 7 4 是对模3同余 因为7 4 3 16 52是对模6同余 因为16 52 36 6 6 23 13是对模2 模5同余 因为23 13 10 2 5 写成数学式子是7 4 mod3 16 52 mod6 23 13 mod2 或23 13 mod5 我们现在令z表示所有的整数集合 给定一个正整数n 我们看同余 究竟有什么性质 首先 对于任何整数a 我们恒有a a modn 因为a a 0 0 n 以上的性质就是 同余具有自反性 其次 如果a b modn 则一定有b a modn 因为由a b modn 我们得a b n k k是一个整数 因此b a a b n k 即b a modn 我们说 同余具有对称性 另外如果有a b modn b c modn 则我们可以得到a c modn 这就是 同余具有传递性 让我们看看下面的例子 例1 取n 2 则我们把整数分成偶数或奇数 就是 0 2 0 2 4 6 2k 包含所有偶数 1 2 1 3 2k 1 包含所有的奇数 例2 取n 3 则 0 3 9 6 3 0 3 6 9 1 3 8 5 2 1 4 7 10 2 3 7 4 1 2 5 8 11 现在让我问一个问题 什么数被2除余1 我想你一定会回答 是所有的奇数 奇数一般可以用2k 1来表示k 0 1 2 这就是在 1 2的数 现在让我再问一个问题 什么数被3除余2 我想你一定会回答 所有形如3k 2的数 这里k可以等于0 1 2 这就是在 2 3里的数 这两个问题都是很容易 现在让我们把这两个问题合成一个问题 什么数被2除余1 被3除余2 这里你就必须在 2 3里找所有的奇数 即 7 1 5 11 等等 如果你学过初等集合论 你就是要找交集 1 2 2 3的所有元素 而这些所有的数可以写成形如6k 1 k 0 1 2 因为6k 1 1 mod2 6k 1 2 mod3 以上的问题写成数学式子就是 寻找x 使得x 1 mod2 x 2 mod3 而答案是 所有形如6k 1的数 中国古算书的一个问题 在成书差不多4世纪时的一本中国最古老的数学书之一 孙子算经 里的下卷第26题 是一个闻名世界的数学问题 这问题有人称它为 孙子问题 现在我们看这问题 今有物不知其数 三三数之剩二 五五数之剩三 七七数之剩二 问物几何 这问题翻译成现在的白话是 现在有一些东西不知道它们的个数 三个三个一组剩下2个 五个五个一组剩下3个 七个七个一组剩下2个 问这些东西有多少 我们把这个问题再翻译成数学问题 就变成 寻找x 使得x 2 mod3 x 3 mod5 x 2 mod7 你只要懂得 2 3 3 5 2 7就在里面找那些数同时在这三个集合里就行了 因此由 2 3 1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 3 5 2 3 8 13 18 23 28 33 38 43 47 2 7 5 2 9 16 23 30 37 44 51 58 63 我们很容易看到最小的正整数答案是23 这和 孙子算经 的答案 答曰 二十三 是符合的 孙子算经 还给出解这题的方法 术曰 三三数之剩二 置一百四十 五五数之剩三 置六十三 七七数之剩二 置三十 并之 得二百三十三 以二百十一减之即得 而书中接下来就给这一类问题的一般解法 凡三三数之剩一 则置七十 五五数之剩一 则置二十一 七七数之剩一 则置十五 一百六以上 以一百五减之即得 这些解法的叙述 相信许多读者第一次看会觉得莫名其妙 究竟这是在说什么东西 我们现在研究一下 孙子算经 的解法 现在假定 孙子问题 一般的情形 求x使得x r1 mod3 0 r1 3x r2 mod5 0 r2 5 i x r3 mod7 0 r3 7由于模3 5 7是两两互素 所以它们的最小公倍数 3 5 7 3 35 5 21 7 15 105 因为35 2 1 mod3 21 1 1 mod5 15 1 1 mod7 因此由同余的可乘性我们得 于是我们有70r1 21r2 15r3 70r1 r1 mod3 70r1 21r2 15r3 21r2 r2 mod5 70r1 21r2 15r3 15r3 r3 mod7 因此同余式组 i 的解是满足下面同余式组的整数值x x 70r1 21r2 15r3 mod3 x 70r1 21r2 15r3 mod5 x 70r1 21r2 15r3 mod7 由于x 70r1 21r2 15r3 是3 5 7的倍数 它也会是 3 5 7 的最小公倍数105的倍数 故 的解同样是和x 70r1 21r2 15r3 mod105 一样 现在回过头看 孙子问题 r1 2 r2 3 r3 2 由算经的前半段解法是这样 x 70 2 21 3 15 2 2 105 23在古代中国人民有猜岁数 隔壁算 剪管术 秦王暗点兵 等数学游戏 就是属于 孙子问题 的范畴和解法 明朝程大位在1583年写的一部后来流传很广的应用数学书 直指算法统宗 就有一首孙子歌 三人同行七十稀 五树梅花甘一枝 七子团员正半月 除百零五便得知 就在诗歌中点明解孙子问题所用到的一些数字 中国剩余定理以上的孙子问题解法可以推广为 如果有同余式组 x r1 modn1 x r2 modn2 x r3 modn3 这里0 r1 n1 0 r2 n2 0 r3 u3 而且n1 n2 n3是两两互素 即gcd n1 n2 gcd n1 n3 gcd n2 n3 1 如果能找到整数 满足下面三式 n2n3 1 modn1 n1n3 1 modn2 n2n1 1 modn3 那么x n2n3r1 n1n3r2 rn2n1r3 modn1n2n3 是原同余式组的解 迟于中国人 古代的印度数学家也考虑类似 孙子问题 欧洲在1202年出的意大利数学家斐波那契的 算法之书 才有两个一次同余问题 而上面的推广 欧洲人要到18世纪才被欧拉重新发现 因此欧洲数学家后来把这定理称为 中国剩余定理 而不是 欧拉定理 以纪念中国数学家在这方面的成就 例1找一个最小的正整数被3除余2 被4除余3 解 我们现在要解同余式组 x 2 mod3 x 3 mod4 先找那些4的倍数被3除余1 从8 12 16 20 我们看到最小的是16 再找3的倍数被4除余1 从9 12 15 我们试到最