数学人教版九年级下册第二十七章 相似小结.doc

第二十七章 相似 本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件 【本章难点】 通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题 【学习本章应注意的问题】 通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小 相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题 专题1 比例线段 【专题解读】 解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解 例1 如图2796所示，A，B，D，E四点在O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE8，OC12，EDCBAO(1)求证；(2)计算CDCB的值，并指出CB的取值范围分析 利用CDECAB，可证明证明：(1)EDCBAO，CC， CDECAB，.解：(2)AE8，OC12， AC12+416，CE=1248 又， CDCBACCE168128 连接OB，在OBC中，OBAE4，OC=12， 8BC16【解题策略】 将证转化为证明CDECAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】 证明形如，或=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决如要证，可设法证，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。 例2 如图2797所示，在等腰三角形ABC中，过A作ADBC，过C作CEAB，又作DFCE，FGAD，求证 分析 欲证，可将其分成三个比例式，再将三式相乘即可不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明就可以了 证明：延长FG交AB于K，连接DK， DFEC，BEEC，DFBE， ABAC，ADBC， BDDC，EFCF FGBC，12， RtFDCRtEKF， KFDC，34， 四边形KFCD是平行四边形，25， EKD3+54+290， DKAB， DFAB，BADFDG， RtADBRtDGF， GKBD，AKGABD， 在ABD中，ADB90，DKAB，ADBAKD 又AKDKGD,ADBKGD， 由，得例3 如图2798所示，在ABC中，已知A：B：C=1：2：4，求证. 分析 原式等价于1，也就是，在CA上取一点D，使CDBC，原式就变成，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有BCEDCE，从而易证ADDECE，于是只需证即可 证明：A：B：C1：2：4， 设Ax，则B2x，C4x 作CE平分BCA，交AB于E， 在AC边上取一点D，使CDCB，连接DE， DCEBCE， CDEB2x，DECBEC=3x， 又CDEA+DEA，DEAx，ADDE， 又DEEC，ADCE 在ABC和ACE中，CABCAE，ACEB2x， ABCACE， 即， ,=1 即.二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形 例4 如图2799所不，在ABC中，看DEBC，DE4 cm，则BC的长为 ( ) A8 cm B12 cm C11 cm D10 cm 分析 由DEBC，可得ADEABC，因为，所以,所以因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B. 例5 如图27100所示，在ABC中，ABBC12 cm，ABC80，BD是ABC的平分线，DEBC. (1)求EDB的度数； (2)求DE的长 分析 (1)由DEBC，得EDBDBCABC，可求EDB(2)由DEBC，得ADEACB，则，再证出BEDE，可求DE 解：(1)DEBC，EDBDBC. BD平分ABC， DBCABC8040，EDB40 (2)BD平分ABC，ABDDBC， DEBC，EDBDBC， EDBEBD，BEDE DEBC，ADEACB， . ，DE=6 cm 【解题策略】 将比例式中的AE转化为ABDE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解 例6 如图27101所示，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC，求证ABCFDE分析 由已知可证FDEB，FEDC，从而可证ABCFDE证明：FDAB，FEAC， FDEB，FEDC， ABCFDE 例7 （08无锡）如图27102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于点F，求证ABFEAD 分析 由矩形的性质可知BADD90，再由BFAE可证AFBD和DAEFBA，从而证明ABFEAD 证明：在矩形ABCD中，BADD=90， BFAE，AFBD90， ABF+BAE90 又DAE+BAEBAD90， ABFEAD， ABFEAD， 三、思想方法专题 专题4 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题例8 在ABC中，ABBCAC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条 分析 如图27103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DFBC，或作CDHB，或作ADGB，故填4 专题5 建模思想 【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题 例9 如图27104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CDa，由此他知道A，B间的距离是( ) Aa B2a Ca D3a 分析 D，C分别为OB，OA的中点，CD是ABO的中位线，CDAB，AB2CD2a故选D 【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决 例10 如图27105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD3 m，标杆与旗杆的水平距离BD15 m，人的眼睛与地面的高度EF16 m，人与标杆CD的水平距离DF2 m，求旗杆AB的高度 分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长 解：因为CDFB，ABFB，所以CDAB， 所以CGEAHE，所以，即，所以，解得AH119，所以ABAH+HBAH+EF11.9+1.613.5(m)故旗杆AB的高度为135 m专题6 转化思想 【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题 例11 如图27106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F求证BO2OFOE 分析 要证BO2OFOE，只需证，而OB，OE，OF在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证AOFCOB和AOBCOE，即有，从而得证 证明：在ABCD中，ABCE，ADBC， AOFCOB，AOBCOE， ， ， OB2OFOE 例12 在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，如果ABC的周长是16，面积是12，那么DEF的周长、面积依次为 ( ) A8，3 B8，6 C4，3 D4，6 分析 由AB2DE，AC2DF，AD，得ABCDEF，且相似比为2，则，所以SDEF3，DEF的周长为8故选A 例13 已知ABC与DEF相似且面积比为4：25，则ABC与DEF的相似比为 分析 利用相似三角形的性质求解故填2：5 例14 已知ABCABC，且SABC：SABC1：2，则AB：AB 分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且SABC：SABC1：2，得AB：AB1：.故填1：.2011中考真题精选1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）ABDC题3图考点：相似图形分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案解答：解：图中的箭头要缩小到原来的，箭头的长、宽都要缩小到原来的；选项B箭头大小不变；选项C箭头扩大；选项D的长缩小、而宽没变故选A点评：本题主要考查了相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换2. （2011，台湾省，22,5分）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔術社上學期345下學期432A、舞蹈社不变，溜冰社减少B、舞蹈社不变，溜冰社不变C、舞蹈社增加，溜冰社减少D、舞蹈社增加，溜冰社不变考点：比例的性质。专题：计算题。分析：若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c解答：解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔術社上學期312=936412=1236512=1536下學期49=163639=123629=836舞蹈社增加，溜冰社不变故选D点评：本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积3. （2011，台湾省，33,5分）如图，梯形ABCD中，ADBC，E、F两点分别在AB、DC上若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（）A、1：2B、2：3C、2：5D、4：9考点：相似多边形的性质。分析：根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解解答：解：梯形AEFD梯形EBCF，且DF：FC=2：3AD：EF=EF：BC=2：3AD：EF：BC=4：6：9AD：BC=4：9故选D点评：本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键4. （2011贵州毕节，7，3分）两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( ) A48cm B54cm C56cm D64cm考点：相似多边形的性质。分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可解答：解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有x36=43，解得：x=48大多边形的周长为48cm故选A点评：本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方（2011福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的边长为1，ADC=60，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为点P。 （4分）猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； （5分）拓展运用：如图3，猜想AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质；三角形的外接圆与外心分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为AEF的外心；（2）首先分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于J，即可求得IPJ的度数，又由点P是等边AEF的外心，易证得PIEPJA，可得PI=PJ，即点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心由GBPMDP，即可 为定值2解答：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F， ABCD第25题 图1OFE四边形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC，COD=COB=AOD=90ADO= ADC= 60=30，又E、F分别为DC、CB中点，OE= CD，OF= BC，AO= AD，0E=OF=OA，点O即为AEF的外心 （2）猜想：外心P一定落在直线DB上证明：如图第25题 图2ABCDEFIJP2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于J，PIE=PJD=90，ADC=60，IPJ=360-PIE-PJD-JDI=120，点P是等边AEF的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPA，PIEPJA，PI=PJ，点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上 为定值2当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心如图3设MN交BC于点G，设DM=x，DN=y（x0yO），则CN=y-1，BCDA，GBPMDPBG=DM=x第25题 图3BACDEFMNPCG=1-xBCDA，GBPNDM， ， ，x+y=2xy， + =2，即 =2点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应（2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.ABCDEFO考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）.分析：（1）通过证明AOECOF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，ABF的面积为24cm2可得，ABBF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明AOEAEP，即可证明；解答：（1）证明：由题意可知OA=OC，EFAO，ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，AOECOF，AE=CF，又AECF，四边形AECF是平行四边形，ACEF，四边形AECF是菱形；（2）四边形AECF是菱形，AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，ABF的面积为24cm2，a2+b2=100，ab=48，（a+b）2=196，a+b=14或a+b=14（不合题意，舍去），ABF的周长为14+10=24cm；（3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点；证明：AEP=AOE=90，EAO=EAP，AOEAEP，=，AE2=AOAP，四边形AECF是菱形，AO=AC，AE2=ACAP，2AE2=ACAP点评：本题考查了相似和全等三角形的判定和性质、勾股定理及矩形的性质，考查了知识点较多，综合性较强，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力（2011湖南益阳,21,12分）如图是小红设计的钻石形商标，ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，ACED，EAC=60，AE=1（1）证明：ABECBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰梯形的性质专题：证明题分析：（1）由ABC是等边三角形，得AB=BC，BAC=BCA=60，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，ACD=CAE=60，利用“SAS”判定ABECBD；（2）存在可利用ABCD或AEBC得出相似三角形；（3）由（2）的结论得=2，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC；（4）作DFBC交BC的延长线于F，在RtCDF中，由CDF=30，CD=AE=1，可求CF，DF，在RtBDF中，由勾股定理求BD解答：（1）证明：ABC是等边三角形，AB=BC，BAC=BCA=60（1分）四边形ACDE是等腰梯形，EAC=60，AE=CD，ACD=CAE=60，BAC+CAE=120=BCA+ACD，即BAE=BCD（2分）在ABE和BCD中，AB=BC，BAE=BCD，AE=CD，ABECBD（3分）（2）存在答案不唯一如ABNCDN证明：BAN=60=DCN，ANB=DNC，ANBCND（5分）其相似比为：=2；（6分）（3）由（2）得=2，CN=AN=AC，（8分）同理AM=AC，AM=MN=NC（9分）（4）作DFBC交BC的延长线于F，BCD=120，DCF=60（1O分）在RtCDF中，CDF=30，CF=CD=，DF=；（11分）在RtBDF中，BF=BC+CF=2+=，DF=，BD=（12分）点评：本题考查了相似三角形全等三角形的判定与性质，特殊三角形，等腰梯形的性质，勾股定理的运用关键是根据等边三角形，等腰梯形的特殊性质得出平行线，构造直角三角形，利用勾股定理解题（2011江西，25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：（1）分别画一下即可得出答案；（2）先判断，再举一个例子；例如：在RtABC中，B=90，AB=BC=1，则（3）先判断，再举一个例子：设ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设abc，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc解答：解：（1）1，2，3（3分）（2）乙同学的结果不正确（4分）例如：在RtABC中，B=90，AB=BC=1，则如图，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形设它的边长为a，则依题意可得：，如图，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形设它的边长为b，则依题意可得：，ab（7分）（3）丙同学的结论正确设ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.依题意可得：， .同理 . =又， ，即.在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. (10分)点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键（2011年江西省，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（090）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上活动一：如