2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第2课时 两角和与差的正切学案 新人教B版第三册.doc

第2课时两角和与差的正切学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等(重点、难点)1.通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养2.借助两角和与差的正切的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1.两角和的正切公式t：tan() .2.两角差的正切公式t：tan() .思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？提示(1)tan tan tan()(1tan tan )(2)1tan tan .(3)tan tan tan tan tan()tan()(4)tan tan 1.1.(2019全国卷)tan 255()a2b2c2d2dtan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故选d2.若cos ，且为第三象限角，则tan的值等于()ab c7d7d若cos ，且为第三象限角，则sin ，tan ，tan7，故选d3.设tan ，tan ，且角，为锐角，则的值是_tan ，tan ，tan()1，又，均为锐角，即，0，则.利用公式化简求值【例1】求下列各式的值：(1)tan 15；(2)；(3)tan 23tan 37tan 23tan 37.思路探究把非特殊角转化为特殊角(如(1)及公式的逆用(如(2)与活用(如(3)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的解(1)tan 15tan(4530)2.(2)tan(3075)tan(45)tan 451.(3)tan(2337)tan 60，tan 23tan 37(1tan 23tan 37)，原式(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.1.公式t，t是变形较多的两个公式，公式中有tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者知二可表示或求出第三个2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换1.求下列各式的值：(1)；(2)tan 36tan 84tan 36tan 84.解(1)原式tan(4575)tan(30)tan 30.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)tan 36tan 84tan 120tan 120tan 36tan 84tan 36tan 84tan 120.条件求值(角)问题【例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于a，b两点，已知a，b的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求2的值思路探究先由任意角的三角函数定义求出cos ，cos ，再求sin ，sin ，从而求出tan ，tan ，然后利用t求tan()，最后利用2()，求tan(2)进而得到2的值解由条件得cos ，cos ，为锐角，sin ，sin ，tan 7，tan .(1)tan()3.(2)tan(2)tan()1，为锐角，02，2.1.通过先求角的某个三角函数值来求角2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好3.给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角2.(1)已知，sin ，求tan的值；(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算的大小解(1)因为sin ，且，所以cos ，所以tan ，故tan.(2)由题图可知tan ，tan ，且，均为锐角，所以tan()1.因为(0，)，所以.公式的变形应用探究问题1.判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？提示根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等2.在abc中，tan(ab)与tan c有何关系？提示根据三角形内角和定理可得abc，abc，tan(ab)tan(c)tan c【例3】已知abc中，tan btan ctan btan c，且tan atan b1tan atan b，判断abc的形状思路探究.解由tan atan(bc)tan(bc).而0a180，a120.由tan ctan(ab)，而0c180，c30，b30.abc是顶角为120的等腰三角形(变条件)例题中把条件改为“tan btan ctan btan c，且tan atan b1tan atan b”，结果如何？解由tan atan (bc)tan(bc).又0a180，所以a60.由tan ctan (ab).又0c180，所以c60，所以b60.所以abc是等边三角形公式t的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在t中，如果分子中出现“1”常利用1tan 45来代换，以达到化简求值的目的，如tan ；tan .(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan()的变形公式1.公式t()的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y轴上，即不为k(kz)(2)公式t()的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和2.两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )；tan tan 1等.1.设角的终边过点(2,3)，则tan()abc5d5a由于角的终边过点(2,3)，因此tan ，故tan，选a2.tan 10tan 20(tan 10t