2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广学案 新人教B版第三册.doc

7.1.1角的推广学 习 目 标核 心 素 养1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角(一般)2.理解象限角的概念(重点)3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置(难点)1.通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养.1.角的概念(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角这两条射线分别称为角的始边和终边由于是旋转生成的，也称为转角(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转而形成的角负角按顺时针方向旋转而形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角2.角的加减法运算引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以化为()这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和3.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限4终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？提示不一定零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如360，360，720等角的终边和始边也重合1.钟表的分针在一个半小时内转了()a180b180c540d540d钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过360，当分针转过一个半小时时，它转了540.2.下列各角中，与330角的终边相同的角是()a510b150c150d390d与330终边相同的角的集合为s|330k360，kz，当k2时，330720390，故选d3.下列说法：第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中错误的序号为_(把错误的序号都写上)由象限角定义可知都不正确任意角的概念【例1】(1)已知集合a第一象限角，b锐角，c小于90的角，则下面关系正确的是()aabcbacc(ac)bd(bc)c(2)设a|为锐角，b|为小于90的角，c|为第一象限的角，d|为小于90的正角，则下列等式中成立的是()aabbbccac dad思路探究利用角的概念进行判断(1)d(2)d(1)第一象限角可表示为k360k36090，kz；锐角可表示为090；小于90的角可表示为90；由三者之间的关系可知，选d(2)直接根据角的分类进行求解，容易得到答案1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可2.在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中0360，kz)，其中的就是所求的角(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止1.有下列说法：相差360整数倍的两个角，其终边不一定相同；终边相同的角一定相等；终边关于x轴对称的两个角，之和为k360，(kz)其中正确说法的序号是_不正确终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反之也成立；不正确由可知终边相同的两个角一定相差k360，(kz)；正确因为终边关于x轴对称的两个角，当(180，180)，且(180，180)时0，当，为任意角时，k360(kz)象限角与区域角的表示【例2】(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()a|k36030k36045，kzb|k180150k180225，kzc|k360150k360225，kzd|k36030k18045，kz(2)已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围思路探究(1)c在0360内落在阴影部分角的范围为大于150而小于225，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为|k360150k360225，kz(2)解阴影在x轴上方部分的角的集合为：a|k36060k360105，kz阴影在x轴下方部分的角的集合为：b|k360240k360285，kz所以阴影部分内角的取值范围是ab，即|k36060k360105，kz|k360240k360285，kz其中b可以化为：|k36018060k360180105，kz即|(2k1)18060(2k1)180105，kz集合a可以化为：|2k180602k180105，kz故ab可化为|n18060n180105，nz表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：扇形区域起始、终止边界对应角，再加上k360，即得区间角集合对顶区域，始边、终边再加上k180即得区间角集合(kz)2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合解在180180内落在阴影部分角的集合为大于45小于45，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为|45k36045k360，kz.所在象限的判定方法及角的终边对称问题探究问题1.由所在象限如何求(kn*)所在象限？提示(1)代数推导法：先表示为角所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定如：当角在第二象限时，90k360180k360，kz，则30k12060k120，kz，所以在第一、二、四象限(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当在第n象限时，就在n号区域例如：当角在第二象限时，在图k2时的2号区域，在图k3时的2号区域但此规律有局限性，如在已知角的范围求角2的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法2.若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别具有怎样的关系？提示(1)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是180k360，kz.(2)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系是k360，kz.(3)关于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是180k360，kz.(4)关于直线yx对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关系是90k360，kz.【例3】(1)若是第四象限角，则180是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角(2)已知为第二象限角，则2，分别是第几象限角？思路探究(1)可通过写出的取值范围，逐步求得180范围来求解；(2)由的范围写出2，的范围后，直接求得2的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置(1)c因为是第四象限角，则角应满足：k36090k360，kz，所以k360k36090，则k360180180k36090180，kz，当k0时，180180270，故180为第三象限角(2)解是第二象限角，90k360180k360，kz，1802k36023602k360，kz，2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角同理4536090360.当k为偶数时，不妨令k2n，nz，则45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nz，则225n360270n360，此时，为第三象限角为第一或第三象限角(变结论)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？解是第二象限角，90k360180k360，kz，30k12060k120，kz.当k3n，nz时，30n36060n360，nz，此时为第一象限角；当k3n1，nz时，150n360180n360，nz，此时为第二象限角；当k3n2，nz时，270n360300n360，nz，此时为第四象限角为第一、第二或第四象限角解决此类问题，要先确定的范围，进一步确定出n或f(,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论.1.终边在坐标轴上的角的集合表示角的终边位置角的集合表示在x轴上|k180，kz在y轴上|k18090，kz在坐标轴上|k90，kz2.象限角的集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角|k360k36090，kz第二象限角|k36090k360180，kz第三象限角|k360180k360270，kz第四象限角|k360270k360360，kz3.对终边相同的角的说明所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以用式子k360，kz表示在运用时，需注意以下三点：k是整数，这个条件不能漏掉是任意角k360与之间用“”号连接，如k36030应看成k360(30)(kz).1.以下说法正确的是()a若是第一象限角，则2是第二象限角ba|k180，kz，b|k90，kz，则abc若k360k360180(kz)，则为第一或第二象限角d终边在x轴上的角可表示为k360(kz)b对于选项b：集合a|k180，kz|2k90，kz，b|k90，kz，ab，故选b2.已知集合mx|xk9045，kz，集合nx|xk4590，kz，则有()amnbnmcmndmnc由于k90(kz)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k9045(kz)表示终边落在yx或yx上的角(如图(1)又由于k4590(kz)表示终边落在x轴、y轴、直线yx 8个位置上的角(如图(2)，因而mn，故正确答案为c3.若角与角终边相同，则_.k360(kz)根据终边相同角的定义可知：k360(k