高中数学4.2曲线的极坐标方程4.2.2常用曲线的极坐标方程同步测控苏教版选修.docx

4.2.2 常用曲线的极坐标方程同步测控我夯基，我达标1.在极坐标系中，曲线=4cos(-)关于（ ）A.直线=对称 B.直线=对称C.点（2,)中心对称 D.极点中心对称解析：由曲线方程知，它是以（2,)为圆心，2为半径的圆.所以C正确.答案：C2.下列方程各表示什么曲线？(1)y=a，答_；(2)=a，答_；(3)=，答_.解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.当然,我们首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线方程.(1)在直角坐标系下,y=a表示与x轴平行或重合的直线；(2)在极坐标系下,=a表示圆心在极点,半径为a的圆；(3)在极坐标系下,=表示过极点,倾斜角为的射线.答案：（1）与x轴平行的直线 （2）圆心在极点，半径为a的圆（3）过极点且倾斜角为的射线3.在极坐标系中,直线l的方程为sin=3,则点(2,)到直线l的距离为_解析：l的极坐标方程为sin=3,l的直角坐标方程为y=3.点(2,)的直角坐标为(,1).点(2,)到l的距离为2.答案：24.画出极坐标方程为(-)+(-)sin=0的图形.解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,合并在一起即为所求方程的曲线.解：将原方程分解因式，得(-)(-sin)=0,-=0或-sin=0.=时，为一条射线；-sin=0时，为一个圆（如图）.5.求出下列直线的极坐标方程.（1）过两个定点P1（1,1)和P2（2，2）；（2）过定点M（0，0），关于极轴的倾角为；（3）过定点M（0，0），且与直线=0垂直.思路分析：在所给直线上任取一点P（，），建立关于、的一个方程即可.解：（1）若1=2+n,则P1、P2与极点共线，方程为=1；现设12+n(nZ)，P（,)为直线P1P2上任意一点（如图），则SOP2P1=SOPP1+SP2PO，即12sin(1-2)=1sin(1-)+2sin(-2).由于12+n(nZ),则直线不过极点，即120，故(2)设P(,)为直线上任意一点（如图），且记OPM=1，OMP=2，则1=-,2=-(-0).在OMP中应用正弦定理，有,即=0=0，即直线方程为sin(-)=0sin(0-).(3)设P（,)为直线上任意一点（如图），由OMP为直角三角形，显然有cos(-0)=0.这就是所求的直线方程.6.求圆心在点（a,)处且过极点的圆的方程.思路分析：=a,0=,又r=a,可以直接代入圆的极坐标方程，也可以数形结合求圆的方程.解：如图，OPOx于点P,在圆上任取一点M（，），连结OM和MP，则OMMP.在RtOMP中，=2acos(-)=2asin,故该圆的方程为=2asin,0.7.已知双曲线的极坐标方程为=，过极点作直线与它交于A、B两点，且|AB|=6，求直线AB的极坐标方程.思路分析：直线和圆锥曲线的相交问题，通常采用设而不求的方法优化解题过程，即设出交点A、B的坐标，根据内在联系解决问题.解：设直线AB的极坐标方程为=1,则A（1,1),B(2,1+)，1=,2=.|AB|=|1+2|=|=|.=6.cos1=0或cos1=.故直线AB的极坐标方程为=,或=，=.我综合,我发展8.极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是（ ）A.2 B. C.1 D.解析：本题有两种解法.第一种解法直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(,0)和(,),这两点间的距离是.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为不恒为0,可以用分别乘方程两边,得2=cos和2=sin,极坐标方程化直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(,0),(0,),圆心距是.答案：D9.两条直线cos(-)=a与sin(-)=a的位置关系是（为极角，为常量）（ ）A.平行 B.垂直 C.重合 D.平行或重合解析：可以化为直角坐标方程，然后判断位置关系.答案：B10.直线cos=2关于直线=对称的直线方程为（ ）A.cos=-2 B.sin=2 C.sin=-2 D.=2sin解析：数形结合，直线cos=2表示过（2，0）且与极轴垂直的直线；=表示一、三象限的角平分线.答案：B11.直线=与圆=2ccos（c0)相切的条件是_.解析：先化成直角坐标方程，然后由圆心到直线的距离等于半径，得出结论.答案：b2c2+2ac=112.已知直线l的极坐标方程为sin(+)=,求证：极点到直线l的距离是.思路分析：数形结合，由直线的极坐标方程的意义得出结论.证明：已知直线l:sin(+)=可看作是直线l:sin=绕极点按顺时针方向旋转得到的，因此极点到直线l的距离等于极点到直线l的距离.而极点到直线l的距离为，所以极点到直线l的距离为.我创新，我超越13.点A、B在椭圆上，O为原点，OAOB.(1)求证：为定值；(2)求AOB面积的最大值和最小值.思路分析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当我们把椭圆方程化为极坐标方程后,可以发现OA与OB长度的关系就很容易找到了；在AOB中利用正弦定理的面积公式我们也容易找到其面积的最大值和最小值.(1)证明：椭圆长半轴为a,短半轴为b,以O为极点,长轴一端与点O的射线为极轴,建立坐标系.将x=cos,y=sin代入椭圆方程,得b22cos2+a22sin2=a2b2,=,即.设点A的极角为,则点B的极角为+,且|OA|=1,|OB|=2,=.+=为定值.(2)解：设A的极坐标为(1,),则B(2,+),点A、B满足方程=,OAOB,SOAB=12.而=这里12与同时取得最大值和最小值.故当sin2=0时,有最大值,12有最大值,(SOAB)max=；当sin2=1时,有最小值,12有最小值,(SOAB)min=.14.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如右图）的东偏南(=arccos)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（试用极坐标的思想解决）思路分析：这道题的解决方法,我们大部分同学都是建立直角坐标系来求解的.利用两点间的距离公式,使得城市与台风中心的距离小于等于圆形区域半径,该城市受到台风的侵袭,从而建立不等式,求出侵袭的时间.该题的求解还可以采用极坐标方程来进行.我们只要准确把握基本概念,较容易得出结果.只要极径小于或等于圆形区域的半径,建立不等式,也可以求出台风侵袭的时间来.解：如图,建立极坐标系,以O为原点,正东方向为x轴正向.此时点P的坐标为(300,-),当台风以20 km/h的速度向西偏北45方向移动时,台风中心点的极径长设为,若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有r(t),其中r(t)=10t+60.又在OP中,|OP|=300,