2017_18版高中数学1.3.2第1课时利用导数研究函数的极值课件.pptx

第1课时利用导数研究函数的极值 第一章1 3 2利用导数研究函数的极值 学习目标1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点极值的概念 观察y f x 的图象 指出其极大值点和极小值点及极值 答案 答案极大值点为e g i 极大值为f e f g f i 极小值点为d f h 极小值为f d f f f h 思考2 导数为0的点一定是极值点吗 答案 答案不一定 如f x x3 尽管由f x 3x2 0 得出x 0 但f x 在R上是增函数 不满足在x 0的左 右两侧符号相反 故x 0不是f x x3的极值点 极值的概念 1 极大值与极大值点已知函数y f x 设x0是定义域 a b 内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有 则称函数f x 在点x0处取极大值 记作 并把称为函数f x 的一个极大值点 梳理 y极大 f x0 f x f x0 x0 2 极小值与极小值点如果在x0附近都有 则称函数f x 在点x0处取极小值 记作 并把x0称为函数f x 的一个极小值点 3 极值与极值点与统称为极值 与统称为极值点 f x f x0 y极小 f x0 极大值 极小值 极大值点 极小值点 题型探究 例1求下列函数的极值 并画出函数的草图 1 f x x2 1 3 1 解答 类型一求函数的极值 命题角度1不含参数的函数求极值 解f x 6x x2 1 2 6x x 1 2 x 1 2 令f x 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当x 0时 f x 有极小值且f x 极小值 0 函数的草图如图所示 解答 令f x 0 解得x e 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 因此 x e是函数的极大值点 极大值为f e 没有极小值 函数的草图如图所示 1 讨论函数的性质时 要树立定义域优先的原则 2 求可导函数f x 的极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 观察f x 在方程根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个方程根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个方程根处取得极小值 注意 f x 无意义的点也要讨论 可先求出f x 0的根和f x 无意义的点 这些点都称为可疑点 再用定义去判断 反思与感悟 跟踪训练1设三次函数f x 的导函数为f x 函数y xf x 的图象的一部分如图所示 则 C f x 极大值为f 3 极小值为f 3 D f x 极大值为f 3 极小值为f 3 解析当x0 即f x 3时 f x 0 f x 的极大值是f 3 f x 的极小值是f 3 答案 解析 例2设函数f x 2x3 3 a 1 x2 1 其中a 1 1 求f x 的单调区间 解答 命题角度2含参数的函数求极值 解由已知得f x 6x x a 1 令f x 0 解得x1 0 x2 a 1 当a 1时 f x 6x2 f x 在 上单调递增 当a 1时 f x 6x x a 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 从上表可知 函数f x 在 0 上是单调增函数 在 0 a 1 上是单调减函数 在 a 1 上是单调增函数 2 讨论f x 的极值 解答 解由 1 知 当a 1时 函数f x 没有极值 当a 1时 函数在x 0处取得极大值1 在x a 1处取得极小值1 a 1 3 讨论参数应从f x 0的两根x1 x2相等与否入手进行 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x x alnx a R 1 当a 2时 求曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程 解答 因而f 1 1 f 1 1 所以曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 2 求函数f x 的极值 解答 当a 0时 f x 0 函数f x 为 0 上的增函数 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0 解得x a 又当x 0 a 时 f x 0 从而函数f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 类型二已知函数极值求参数 解答 解f x x2 a 1 x a 因为f x 在 0 1 内有极大值和极小值 所以f x 0在 0 1 内有两不等实根 已知函数极值的情况 逆向应用确定函数的解析式时 应注意以下两点 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 反思与感悟 跟踪训练3 1 函数f x x3 ax2 bx c的图象如图所示 且与直线y 0在原点处相切 函数的极小值为 4 求a b c的值 解答 解 函数图象过原点 c 0 即f x x3 ax2 bx f x 3x2 2ax b 又 函数f x 的图象与直线y 0在原点处相切 f 0 0 解得b 0 f x 3x2 2ax x 3x 2a 解得a 3 a 3 b c 0 解答 求函数的单调减区间 解由 知f x x3 3x2 且f x 3x x 2 由f x 0 得3x x 2 0 0 x 2 函数f x 的单调减区间是 0 2 解答 当00 当x 1时 f x 0 f x 在 0 1 上是单调增函数 在 1 上是单调减函数 函数f x 在x 1处取得极大值 类型三函数极值的综合应用 例4 1 函数f x x3 4x 4的图象与直线y a恰有三个不同的交点 则实数a的取值范围是 答案 解析 f x x2 4 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 且f x 在 2 上是增函数 在 2 2 上是减函数 在 2 上是增函数 根据函数单调性 极值情况 它的图象大致如图所示 2 已知函数f x x3 6x2 9x 3 若函数y f x 的图象与y f x 5x m的图象有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解答 x2 x 3 m 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 解由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 利用导数可以判断函数的单调性 研究函数的极值情况 并能在此基本上画出函数的大致图象 从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数 从而为研究方程根的个数问题提供了方便 反思与感悟 跟踪训练4若2ln x 2 x2 x b 0在区间 1 1 上恰有两个不同的实数根 求实数b的取值范围 解答 解令g x 2ln x 2 x2 x b g x 与g x 随x在 2 上的变化情况如下表 由上表可知 函数在x 0处取得极大值 极大值为2ln2 b 所以 2ln2 b 2 2ln3 故实数b的取值范围是 2ln2 2 2ln3 当堂训练 1 函数f x 的定义域为R 它的导函数y f x 的部分图象如图所示 则下面结论错误的是A 在 1 2 上函数f x 为增函数B 在 3 4 上函数f x 为减函数C 在 1 3 上函数f x 有极大值D x 3是函数f x 在区间 1 5 上的极小值点 答案 2 3 4 5 1 解析 解析根据导函数图象知 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 4 时 f x 0 f x 在 1 2 4 5 上为增函数 在 2 4 上为减函数 x 2是f x 在 1 5 上的极大值点 x 4是极小值点 故选D 2 3 4 5 1 2 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为A 12D a6 答案 2 3 4 5 1 解析 解析f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 所以 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 2 3 4 5 1 3 函数f x alnx bx2 3x的极值点为x1 1 x2 2 则a b 答案 解析 2 2 3 4 5 1 函数的极值点为x1 1 x2 2 即为2bx2 3x a 0的两根 4 直线y a与函数y x3 3x的图象有三个相异的交点 则a的取值范围是 2 3 4 5 1 解析 解析f x 3x2 3 令f x 0可以得到x 1或x 1 f 1 2 f 1 2 2 a 2 答案 2 2 5 已知函数f x ax2 blnx在x 1处有极值 1 求a b的值 解答 2 3 4 5 1 2 判断f x 的单调区间 并求极值 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 又f x 的定义域为 0 令f x 0 解得x 1 当x变化时 f x f x 的