2017_18版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质一课件北师大版选修.pptx

第二章 2抛物线 2 2抛物线的简单性质 一 学习目标1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等简单性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一抛物线的简单性质 思考1 类比椭圆 双曲线的简单性质 结合图像 你能说出抛物线y2 2px p 0 中x的范围 对称性 顶点坐标吗 范围x 0 关于x轴对称 顶点坐标 0 0 答案 思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响 因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p 所以p越大 开口越大 答案 梳理 0 0 1 知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则 题型探究 类型一抛物线简单性质的应用 例1已知抛物线的焦点F在x轴上 直线l过F且垂直于x轴 l与抛物线交于A B两点 O为坐标原点 若 OAB的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解答 由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 AB 2 m 因为 OAB的面积为4 引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 AOB的面积是 4p2 答案 解析 因为抛物线的对称轴为x轴 内接 AOB为等腰直角三角形 所以由抛物线的对称性知 直线AB与抛物线的对称轴垂直 从而直线OA与x轴的夹角为45 所以易得A B两点的坐标分别为 2p 2p 和 2p 2p 把握三个要点确定抛物线简单性质 1 开口 由抛物线标准方程看图像开口 关键是明确二次项是x还是y 一次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长为2p 离心率恒等于1 反思与感悟 跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6 求抛物线的方程 解答 设抛物线的方程为y2 2ax a 0 点P x0 y0 因为点P到对称轴距离为6 所以y0 6 因为点P到准线距离为10 因为点P在抛物线上 所以36 2ax0 所以所求抛物线的方程为y2 4x或y2 36x 类型二抛物线的焦点弦问题 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 AB 的值 解答 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 5 2 若 AB 9 求线段AB的中点M到准线的距离 解答 所以x1 x2 6 所以线段AB的中点M的横坐标是3 1 抛物线的焦半径 反思与感悟 2 过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦的端点为A x1 y1 B x2 y2 则 AB x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关系求出x1 x2即可 跟踪训练2直线l过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于A B两点 若 AB 8 则直线l的方程为 答案 解析 x y 1 0或x y 1 0 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 若l与x轴垂直 则 AB 4 不符合题意 所以可设所求直线l的方程为y k x 1 所以所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 类型三与抛物线有关的最值问题 解答 例3设P是抛物线y2 4x上的一个动点 F为抛物线的焦点 1 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值 如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线方程是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1的距离等于点P到焦点F的距离 于是问题转化为在曲线上求一点P 使点P到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 解答 2 若点B的坐标为 3 2 求 PB PF 的最小值 过点B作BQ垂直于准线 垂足为点Q 交抛物线于点P1 连接P1F 此时 由抛物线定义知 P1Q P1F 所以 PB PF P1B P1Q BQ 3 1 4 即 PB PF 的最小值为4 抛物线的定义在解题中的作用 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化 另外要注意平面几何知识的应用 如两点之间线段最短 三角形中三边间的不等关系 点与直线上点的连线垂线段最短等 反思与感悟 跟踪训练3已知点P是抛物线y2 2x上的一个动点 则点P到点A 0 2 的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 答案 解析 如图 由抛物线定义知 PA PQ PA PF 则所求距离之和的最小值转化为求 PA PF 的最小值 则当A P F三点共线时 PA PF 取得最小值 PA PF min AF 当堂训练 当AB垂直于对称轴时 AB 取最小值 此时AB为抛物线的通径 长度等于2p 1 设AB为过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦 则 AB 的最小值为A B pC 2pD 无法确定 答案 解析 2 3 4 5 1 2 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是4 则点P到该抛物线焦点的距离是A 4B 6C 8D 12 2 3 4 5 1 由抛物线的定义可知 点P到抛物线焦点的距离是4 2 6 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知抛物线y ax2的准线方程是y 2 则此抛物线上的点到准线距离的最小值为A 1B 2C 3D 4 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短 故最小值为2 答案 解析 2 3 4 5 1 4 过抛物线y2 8x的焦点作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为A 8B 16C 32D 61 答案 解析 由y2 8x得焦点坐标为 2 0 由此直线方程为y x 2 设交点为A x1 y1 B x2 y2 由方程知x1 x2 12 弦长 AB x1 x2 p 12 4 16 5 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 解答 2 3 4 5