高二数学期末总复习课件《空间向量》.ppt

楚水实验学校高二数学备课组 空间向量 期末复习 一 空间向量及其线性运算 空间向量的加法 数乘运算满足下列运算律 1 加法交换律 a b b a 2 加法结合律 a b c a b c 3 数乘分配律 a b a b 空间向量基础知识 空间向量 是指具有大小和方向的量叫做向量 空间向量也用有向线段表示 并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 二 共线向量与共面向量 定理1空间向量a b平行的充分必要条件是存在实数 使a b b 0 定理2如果向量a b不共线 则向量p与a b共面的充分必要条件是存在实数对x y 使p xa yb 推论1a b c共面存在不全为零的实数x y z 使xa yb zc 0 推论2若a b c不共面 且有实数x y z 使xa yb zc 0 则x y z 0 定理3如果向量a b c不共面 那么对于空间任一向量p 存在一个唯一的有序实数组x y z 使p xa yb zc 共面向量定理 共线向量定理 空间向量基本定理 三 空间向量的数量积运算 定义实数 a b cos叫做向量a b的数量积 记做a b 即a b a b cos 空间向量的性质 1 a e a cos e为单位向量 3 当a b同向时 a b a b 当a b反向时 a b a b 特别地a a a 2 4 向量的数量积满足下列运算律 a b a b a b b a a b c a b a c 5 a b a b 四 空间直角坐标系与空间向量的坐标运算 1 空间直角坐标系从空间某一定点o引三条两两垂直且有相同单位长度的数轴 这样就建立了空间直角坐标系o xyz 点o为坐标原点 x轴 y轴 z轴叫坐标轴 每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面 分别称为xoy平面 yoz平面 zox平面 右手坐标系 在直角坐标系中 分别取与x轴 y轴 z轴方向相同的单位向量i j k 则对于空间任一向量a 总存在唯一的有序数组 x y z 使a xi yj zk 则有序数组 x y z 叫做向量a在空间坐标系o xyz中的坐标记为a x y z 2 向量的坐标表示 3 向量的运算和性质的坐标表示表示 1 设 则 3 设 则 2 两点间距离公式 4 模长公式 5 夹角公式 6 平行的条件 对应坐标成比例 垂直的条件 x1x2 y1y2 z1z2 0 五 直线的方向向量与平面的法向量及其应用 空间直线的方向向量 平面的法向量 六 空间角及距离公式 线线线面面面 求夹角 位置关系判断 4 已知a 0 2 3 b 2 1 6 c 1 1 5 若的坐标为 2 已知与平行 则a b 3 与向量a 1 2 3 b 3 1 2 都垂直的向量为 a 1 7 5 b 1 7 5 c 1 7 5 d 1 7 6 课堂基础训练 1 已知点a 3 5 7 点b 1 4 2 则的坐标是 ab中点坐标是 7 c 8 设 m 1 n 2 2m n与m 3n垂直 a 4m n b 7m 2n 则 7 若的夹角为 6 已知 2 1 3 4 2 x 若与夹角是钝角 则x取值范围是 5 已知向量 a与b的夹角为 2 若求oa与bc夹角的余弦值 例题1 如图 在空间四边形oabc中 e f分别是oc与ab的中点 1 求证 向量法 证 2 连接ac 因abcd是菱形 所以 bd ac 所以bd 平面acc1a 所以 bd a1c 由 1 bd cc1 设cd cb 1 cc1 x 则cos xcos 1 x2 0 所以x 1 评注 用向量法研究空间线面关系 在平面的法向量不能直接给定的情况下 可转化为平面内的向量与直线的方向向量的关系去讨论 坐标法 例1 在棱长为2的正方体ac1中 p q分别是bc cd上的点 且pq 1 求证 确定点p q的位置 使得b1q d1p 2 当b1q d1p时 求二面角c1 pq a的大小 a 1 例1 在棱长为2的正方体ac1中 p q分别是bc cd上的点 且pq 1 求证 确定点p q的位置 使得b1q d1p 2 当b1q d1p时 求二面角c1 pq a的大小的余弦 解 1 当p q分别是bc cd的中点时 b1q d1p 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 bc 2 aa1 6 求 1 异面直线bd1和b1c所成角的余弦值 2 bd1与平面ab1c的夹角 练习 练习 1 如图 正四棱锥p abcd中 pa ab 点m n分别在pa bd上 且 1 求证 mn ad 2 求证 mn 平面pbc 3 求mn与pc所成的角 2 如图 在四棱锥v abcd中 底面abcd是正方形 侧面vad是正三角形 平面vad 底面abcd 证明ab 平面vad 求面vad与面