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3 2 1直线的方向向量与平面的法向量 研究 从今天开始 我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用 为了用向量来研究空间的线面位置关系 首先我们要用向量来表示直线和平面的 方向 那么如何用向量来刻画直线和平面的 方向 呢 一 直线的方向向量 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的 所以 可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的 方向 二 平面的法向量 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作 如果 那么向量叫做平面的法向量 l 给定一点a和一个向量 那么过点a 以向量为法向量的平面是完全确定的 几点注意 1 法向量一定是非零向量 2 一个平面的所有法向量都互相平行 3 向量是平面的法向量 向量是与平面平行或在平面内 则有 由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的 为方便起见 取z 1较合理 其实平面的法向量不是惟一的 平面的法向量不惟一 合理取值即可 例3 在空间直角坐标系内 设平面经过点 平面的法向量为 为平面内任意一点 求满足的关系式 解 由题意可得 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线 平面间的平行 垂直 夹角等位置关系 那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行 垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢 如何用平面的法向量表示空间两平面平行 垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢 三 平行关系 简证 因为矩形abcd和矩形adef所在平面互相垂直 所以ab ad af互相垂直 以为正交基底 建立如图所示空间坐标系 设ab ad af长分别为3a 3b 3c 则可得各点坐标 从而有 又平面cde的一个法向量是 因为mn不在平面cde内所以mn 平面cde 四 垂直关系 证明 设正方体棱长为1 为单位正交基底 建立如图所示坐标系d xyz 则可得 所以 巩固性训练1 1 设分别是直线l1 l2的方向向量 根据下列条件 判断l1 l2的位置关系 平行 垂直 平行 巩固性训练2 1 设分别是平面 的法向量 根据下列条件 判断 的位置关系 垂直 平行 相交 1 设平面的法向量为 1 2 2 平面的法向量为 2 4 k 若 则k 若则k 2 已知 且的方向向量为 2 m 1 平面的法向量为 1 1 2 2 则m 3 若的方向向量为 2 1 m 平面的法向量为 1 1 2 2 且 则m 巩固性训练3 1 如图 正方体中 e为的中点 证明 平面aec 练习 用空间向量来解决下列题目 2 在正方体ac 中 e f g p q r分别是所在棱ab bc
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