高考数学专题复习课件：解析几何（14个） 北师大版.ppt

空间几何体的表面积与体积 1 柱体 锥体 台体的表面积 正方体 长方体的表面积就是各个面的面积之和 探究 棱柱 棱锥 棱台也是由多个平面图形围成的几何体 它们的展开图是什么 如何计算它们的表面积 棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形 棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形 棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形 这样 求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形 三角形 梯形的面积问题 d 圆柱的展开图是一个矩形 如果圆柱的底面半径为 母线为 那么圆柱的底面积为 侧面积为 因此圆柱的表面积为 圆锥的展开图是一个扇形 如果圆柱的底面半径为 母线为 那么它的表面积为 圆台的展开图是一个扇环 它的表面积等于上 下两个底面和加上侧面的面积 即 柱体 锥体 台体的体积 正方体 长方体 以及圆柱的体积公式可以统一为 v sh s为底面面积 h为高 一般棱柱的体积公式也是v sh 其中s为底面面积 h为高 棱锥的体积公式也是 其中s为底面面积 h为高 即它是同底同高的圆柱的体积的 探究 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系 圆台 棱台 的体积公式 其是s s分别为上底面面积 h为圆台 棱台 高 柱体 锥体 台体的表面积与体积 问题提出 1 对于空间几何体 我们分别从结构特征和视图两个方面进行了研究 为了度量一个几何体的大小 我们还须进一步学习几何体的表面积和体积 2 柱 锥 台 球是最基本 最简单的几何体 研究空间几何体的表面积和体积 应以柱 锥 台 球的表面积和体积为基础 那么如何求柱 锥 台 球的表面积和体积呢 知识探究 一 柱体 锥体 台体的表面积 思考1 面积是相对于平面图形而言的 体积是相对于空间几何体而言的 你知道面积和体积的含义吗 面积 平面图形所占平面的大小 体积 几何体所占空间的大小 思考2 所谓表面积 是指几何体表面的面积 怎样理解棱柱 棱锥 棱台的表面积 各个侧面和底面的面积之和或展开图的面积 思考3 圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面 侧面都是曲面 怎样求它们的侧面面积 思考4 圆柱的侧面展开图的形状有哪些特征 如果圆柱的底面半径为r 母线长为l 那么圆柱的表面积公式是什么 思考5 圆锥的侧面展开图的形状有哪些特征 如果圆锥的底面半径为r 母线长为l 那么圆锥的表面积公式是什么 思考6 圆台的侧面展开图的形状有哪些特征 如果圆台的上 下底面半径分别为r r 母线长为l 那么圆台的表面积公式是什么 思考7 在圆台的表面积公式中 若r r r 0 则公式分别变形为什么 知识探究 二 柱体 锥体 台体的体积 思考1 你还记得正方体 长方体和圆柱的体积公式吗 它们可以统一为一个什么公式 思考2 推广到一般的棱柱和圆柱 你猜想柱体的体积公式是什么 思考3 关于体积有如下几个原理 1 相同的几何体的体积相等 2 一个几何体的体积等于它的各部分体积之和 3 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等 4 体积相等的两个几何体叫做等积体 将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥 那么这三个三棱锥的体积有什么关系 它们与三棱柱的体积有什么关系 思考4 推广到一般的棱锥和圆锥 你猜想锥体的体积公式是什么 思考5 根据棱台和圆台的定义 如何计算台体的体积 设台体的上 下底面面积分别为s s 高为h 那么台体的体积公式是什么 思考6 在台体的体积公式中 若s s s 0 则公式分别变形为什么 理论迁移 例1求各棱长都为a的四面体的表面积 例2一个圆台形花盆盆口直径为20cm 盆底直径为15cm 底部渗水圆孔直径为1 5cm 盆壁长15cm 为了美化花盆的外观 需要涂油漆 已知每平方米用100毫升油漆 涂100个这样的花盆需要多少油漆 精确到1毫升 15 例3有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5 8kg 铁的密度是7 8g cm3 已知螺帽的底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 v 2956 mm3 2 956 cm3 5 8 100 7 8 2 956 252 个 棱柱 棱锥 棱台 圆锥 圆台的体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗 几何体表面积 提出问题 棱柱的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 h 棱柱的展开图 正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 棱锥的展开图 棱锥的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 棱锥的展开图 侧面展开 正棱锥的侧面展开图 以前学过特殊的棱柱 正方体 长方体以及圆柱的体积公式 它们的体积公式可以统一为 s为底面面积 h为高 柱体体积 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 圆锥体积 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系 棱锥体积 三棱锥与同底等高的三棱柱的关系 其中s为底面面积 h为高 由此可知 棱柱与圆柱的体积公式类似 都是底面面积乘高 棱锥与圆锥的体积公式类似 都是等于底面面积乘高的 经过探究得知 棱锥也是同底等高的棱柱体积的 即棱锥的体积 锥体体积 台体体积 由于圆台 棱台 是由圆锥 棱锥 截成的 因此可以利用两个锥体的体积差 得到圆台 棱台 的体积公式 过程略 根据台体的特征 如何求台体的体积 棱台 圆台 的体积公式 其中 分别为上 下底面面积 h为圆台 棱台 的高 台体体积 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 s为底面面积 h为柱体高 s分别为上 下底面面积 h为台体高 s为底面面积 h为锥体高 台体体积 例1有一堆规格相同的铁制 铁的密度是 六角螺帽共重5 8kg 已知底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 取3 14 解 六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差 即 答 这堆螺帽大约有252个 典型例题 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 f e 解 方法一 连接a1c1 b1d1交于o1 o1 过o1作o1h b1d于h h ef a1c1 a1c1 平面b1edf c1到平面b1edf的距离就是a1c1就是到平面b1edf的距离 平面b1d1d 平面b1edf o1h 平面b1edf 即o1h为棱锥的高 b1o1h b1dd1 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 f e 解 方法二 连接ef 设b1到平面c1ef的距离为h1 d到平面c1ef的距离为h2 则h1 h2 b1d1 2a 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 f e 解 方法三 柱体 锥体 台体的表面积 知识小结 圆台 圆柱 圆锥 柱体 锥体 台体的体积 锥体 台体 柱体 知识小结 球的表面积和体积 第一课时 问题提出 1 柱体 锥体 台体的体积公式分别是什么 圆柱 圆锥 圆台的表面积公式分别是什么 2 球是一个旋转体 它也有表面积和体积 怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容 知识探究 一 球的体积 思考1 从球的结构特征分析 球的大小由哪个量所确定 思考2 底面半径和高都为r的圆柱和圆锥的体积分别是什么 思考3 如图 对一个半径为r的半球 其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系 思考4 根据上述圆柱 圆锥的体积 你猜想半球的体积是什么 思考5 由上述猜想可知 半径为r的球的体积 这是一个正确的结论 你能提出一些证明思路吗 知识探究 二 球的表面积 思考1 半径为r的圆面积公式是什么 它是怎样得出来的 思考2 把球面任意分割成n个 小球面片 它们的面积之和等于什么 思考3 以这些 小球面片 为底 球心为顶点的 小锥体 近似地看成棱锥 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么 它们的体积之和近似地等于什么 思考4 你能由此推导出半径为r的球的表面积公式吗 思考5 经过球心的截面圆面积是什么 它与球的表面积有什么关系 球的表面积等于球的大圆面积的4倍 理论迁移 例1如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的体积等于圆柱体积的 2 球的表面积等于圆柱的侧面积 例2已知正方体的八个顶点都在球o的球面上 且正方体的表面积为a2 求球o的表面积和体积 例3有一种空心钢球 质量为142g 钢的密度为7 9g cm3 测得其外径为5cm 求它的内径 精确到0 1cm 例4已知a b c为球面上三点 ac bc 6 ab 4 球心o与 abc的外心m的距离等于球半径的一半 求这个球的表面积和体积 球的体积和表面积 第二课时 o 1 球的体积 已知球的半径为r 问题 已知球的半径为r 用r表示球的体积 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 定理 半径是r的球的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 变式2 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸 用料最省时 球与正方体有什么位置关系 球内切于正方体 侧棱长为5cm 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的几倍 2 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm 求这个球的体积 课堂练习 8倍 变式3 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 作轴截面 例2 某街心花园有许多钢球 钢的密度是7 9g cm3 每个钢球重145kg 并且外径等于50cm 试根据以上数据 判断钢球是实心的还是空心的 如果是空的 请你计算出它的内径 取3 14 结果精确到1cm 小结 1 两种方法 化整为零的思想方法和 分割 求和 取极限 的数学方法 2 一个观点 在一定条件下 化曲为直的辨证观点 3 一个公式 半径为r的球的体积是 4 解决两类问题 两个几何体相切和相接 作适当的轴截面 两个几何体相切 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切 两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上 直线的倾斜角和斜率 y 2x 1 2 满足一次函数的解析式y 2x 1的每一个实数对 x y 都是直线l上的点p的坐标 1 直线l上每一点的坐标p x y 都满足一次函数的解析式y 2x 1 知识回顾 在平面直角坐标系中 一次函数y 2x 1的图象是什么 怎样画出它的图象 x y 问题1 直线l上每一点的坐标p x y 与一次函数解析式y 2x 1有什么关系 l 问题2 平面直角坐标系中的所有直线l都是一次函数的图象吗 思考1 上图中的直线l是一次函数的图象吗 思考2 怎样用更一般的方法表示平面直角坐标系中的直线l 2 二元一次方程2x y 1 0的解所对应的点p x y 都在直线l上 1 直线l上每一点的坐标p x y 都是二元一次方程2x y 1 0的解 问题3 将一次函数解析式y 2x 1改写成2x y 1 0 问题1的两个结论应该怎样说 l 2 方程y kx b的解所对应的点p x y 都在直线l上 1 直线l上每一点的坐标p x y 都是方程y kx b的解 k b是常数 问题4 怎样将上述结论一般化 则称方程y kx b是直线l的方程 直线l叫做方程y kx b的直线 特殊到一般的数学思想 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点 反过来 这条直线上的点的坐标都满足这个方程的解 这时 这个方程就叫做这条直线的方程 这条直线叫做这个方程的直线 y kx b x y 1 直线的方程 和 方程的直线 的概念 一一对应 y kx b x y 1 直线的方程 和 方程的直线 的概念 一一对应 问题5 若记直线上的点集为a 一个二元一次方程的解为坐标的点集为b 则a与b有何关系 集合的数学思想 l 问题6 在平面直角坐标系中研究直线时 就是利用直线与方程的这种关系 建立直线方程的概念和定义 并通过方程来研究直线的有关问题 为此 我们先研究直线的方程y kx b 用代数的方法来研究几何问题 问题7 如何研究直线的方程y kx b k b是常数 数学实验 1 当b 0时 y kx 则k y x tan 分类讨论的数学思想 问题8 直线的倾斜角与斜率如何定义 直线倾斜角的范围是 3 直线的斜率k tan 当倾斜角不是900 2 直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角 规定 当直线与x轴平行或重合时 它的倾斜角为 x p y o x p y o x p y o x p y o 1 2 4 3 o o 例1 标出下列图中直线的倾斜角 并说出各自斜率符号 k 0 k 0 k不存在 k 0 4 直线的倾斜角与斜率之间的关系 k 0 无 k 0 递增 不存在 无 k 0 递增 例2 判断正误 直线的斜率值为 则它的倾斜角为 因为所有直线都有倾斜角 所以所有直线都有斜率 直线的倾斜角为 则直线的斜率为 因为平行于y轴的直线的斜率不存在 所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在 x x x x 已知两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 则由p1 p2确定的直线的斜率为k 问题9 经过两点的直线确定吗 1 向量的方向是向上的 x y o 1 x y o 2 向量的坐标是 过原点作向量 则点p的坐标是 而且直线op的倾斜角也是 即 x1 x2 2 向量的方向是向上的 x y o 1 x y o 2 x1 x2 请同学们自己验证 思考 是否还有其它方法来证明斜率公式 例3 求经过点a 2 0 b 5 3 两点的直线的斜率和倾斜角 即 即直线的斜率为 1 倾斜角为 解 例4 已知直线和的斜率分别是和 求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系 由图可知 解 例4 已知直线和的斜率分别是和 求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系 练习1 已知a b c是两两不等的实数 求经过下列每两个点的直线的倾斜角与斜率 1 a a c b b c 2 c a b d a c 3 p b b c q a c a 4 课堂练习 课后思考题 证明a 1 3 b 5 7 c 10 12 三点共线 小结 1 正确理解直线方程与方程的直线概念 2 小结 1 正确理解直线方程与方程的直线概念 2 直线方程的几种形式 一 一 直线的点斜式方程 1 点斜式方程设直线l过点p0 x0 y0 且斜率为k 求直线的方程 设点p x y 为直线上不同于p0 x0 y0 的任意一点 则直线l的斜率k可由p和p0两点的坐标表示为 即y y0 k x x0 注意 利用点斜式求直线方程时 需要先判断斜率存在与否 1 当直线l的倾斜角 90 时 斜率k不存在 不能用点斜式方程表示 但这时直线l恰与y轴平行或重合 这时直线l上每个点的横坐标都等于x0 所以此时的方程为x x0 2 当直线l的倾斜角 0 时 k 0 此时直线l的方程为y y0 即y y0 0 3 当直线l的倾斜角不为0 或90 时 可以直接代入方程求解 2 斜截式方程 如果一条直线通过点 0 b 且斜率为k 则直线的点斜式方程为y kx b其中k为斜率 b叫做直线y kx b在y轴上的截距 简称直线的截距 注意 利用斜截式求直线方程时 需要先判断斜率存在与否 1 并非所有直线在y轴上都有截距 当直线的斜率不存在时 如直线x 2在y轴上就没有截距 从而得斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线的方程 2 直线的斜截式方程y kx b是y关于x的函数 当k 0时 该函数为常量函数x b 当k 0时 该函数为一次函数 且当k 0时 函数单调递增 当k 0时 函数单调递减 3 直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例 要注意它们之间的区别和联系及其相互转化 二 直线的两点式方程 若直线l经过两点a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 则直线l的方程为这种形式的方程叫做直线的两点式方程 1 当直线没有斜率 x1 x2 或斜率为零 y1 y2 时 不能用两点式表示它的方程 对两点式方程的理解 2 可以把两点式的方程化为整式 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程 3 需要特别注意整式 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 与两点式方程的区别 前者对于任意的两点都适用 而后者则有条件的限制 两者并不相同 前者是后者的拓展 三 直线的截距式方程 若直线l在x轴上的截距是a 在y轴上的截距是b 且a 0 b 0 则直线l的方程为 这种形式的方程叫做直线的截距式方程 1 与坐标轴围成的三角形的周长为 a b 2 直线与坐标轴围成的三角形面积为 s 3 直线在两坐标轴上的截距相等 则k 1或直线过原点 常设此方程为x y a或y kx 截距式方程的应用 例1 求下列直线的方程 1 直线l1 过点 2 1 k 1 2 直线l2 过点 2 1 和点 3 3 解 1 直线l1过点 2 1 斜率k 1 由直线的点斜式方程得y 1 1 x 2 整理得x y 3 0 2 直线l2的斜率 由直线的点斜式方程得 整理得直线的方程是4x 5y 3 0 2 直线l2 过点 2 1 和点 3 3 也可以直接用两点式写出直线的方程 例2 求过点 0 1 斜率为 的直线方程 解 直线过点 0 1 表明直线在y轴上的截距为1 又直线的斜率为 由直线的斜截式方程得y x 1 整理得x 2y 2 0 例3 求斜率为 在x轴上的截距是 5的直线方程 解 所求直线的斜率是 在x轴上的截距为 5 即过点 5 0 用点斜式方程知所求直线的方程是 y x 5 即 例4 若直线ax by c 0通过第二 三 四象限 则系数a b c需满足条件 a a b c同号 b ac 0 bc 0 c c 0 ab 0 d a 0 bc 0 解 原方程可化为 即 即a b同号 a c同号 故选a 因为直线通过第二 三 四象限 所以其斜率小于0 在y轴上的截距小于0 例5 直线y ax b a b 0 的图象是 a b c d d 例6 三角形的顶点是a 5 0 b 3 3 c 0 2 求这个三角形三边所在的直线方程 解 用两点式求ab所在直线的方程 直线ab经过点a 5 0 b 3 3 由两点式得 整理得3x 8y 15 0 这就是直线ab的方程 用斜截式求bc所在直线方程 因为b 3 3 c 0 2 所以 截距b 2 由斜截式得y x 2 整理得5x 3y 6 0 这就是直线bc的方程 用截距式求ac所在直线的方程 因为a 5 0 c 0 2 所以直线在x y轴上的截距分别是 5与2 由截距式得 整理得2x 5y 10 0 这就是直线ac的方程 练习题 1 下列说法中不正确的是 a 点斜式y y0 k x x0 适用于不垂直于x轴的任何直线 b 斜截式y kx b适用于不垂直x轴的任何直线 c 两点式适用于不垂直于坐标轴的任何直线 d 截距式适用于不过原点的任何直线 d 2 直线3x 2y 4的截距式方程为 a b c d d 3 过点 3 4 且平行于x轴的直线方程是 过点 5 2 且平行于y轴的直线方程是 y 4 0 x 5 0 4 过点p 1 3 的直线分别与两坐标轴交于a b两点 若p为ab的中点 则直线的方程是 3x y 6 0 直线方程的几种形式 二 直线方程的一般形式 方程ax by c 0 a b不全为零 叫做直线的一般式方程 对直线的一般式方程的理解 1 两个独立的条件可求直线方程 求直线方程 表面上需求a b c三个系数 由于a b不同时为零 若a 0 则方程化为 只需确定的值 若b 0 同理只需确定两个数值即可 因此 只要给出两个条件 就可以求出直线方程 2 直线方程的其他形式都可以化成一般式 解题时 如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式 一般式也可以化为其他形式 3 在一般式ax by c 0 a b不全为零 中 若a 0 则y 它表示一条与y轴垂直的直线 若b 0 则 它表示一条与x轴垂直的直线 直线方程的选择 1 待定系数法是求直线方程的最基本 最常用的方法 但要注意选择形式 一般地已知一点 可以待定斜率k 但要注意讨论斜率k不存在的情形 如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等 2 直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性 解题过程中要能够根据不同的题设条件 灵活选用恰当的直线形式求直线方程 例1 已知直线的斜率为 且和坐标轴围成面积为3的三角形 求该直线的方程 解 设直线方程为 因为直线斜率 又 所求直线方程为x 6y 6 0或x 6y 6 0 例2 过点a 1 4 且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解 1 当直线经过原点时 横截距和纵截距都为0 符合题意 直线方程为y 4x 2 当直线不经过原点时 设直线方程为 由题意 解得 或 即直线方程为x y 3 0或x y 5 0 综合 1 2 符合题意的直线共有三条 故选c 例3 已知两直线a1x b1y 1 0和a2x b2y 1 0的交点为p 2 3 求过两点q1 a1 b1 q2 a2 b2 的直线方程 解 p 2 3 在已知直线上 所以 两式相减得2 a1 a2 3 b1 b2 0 即 故所求直线方程为y b1 x a1 即2x 3y 3b1 2a1 0 而2a1 3b1 1 所以 所求直线方程为2x 3y 1 0 解法二 因为p 2 3 在已知直线上 所以 可见两点q1 a1 b1 q2 a2 b2 的坐标都满足方程2x 3y 1 0 所以过q1 a1 b1 q2 a2 b2 两点的直线方程是2x 3y 1 0 例4 过点p 1 2 作直线l 交x y轴的正半轴于a b两点 求使 oab面积取得最小值时直线l的方程 p 1 2 解 设直线l的截距式方程为 依题意a 0 b 0 又因为点p 1 2 在直线l上 所以 即b 2a ab 又因为 oab的面积s ab 所以s b 2a 4 当且仅当时等号成立 即b 2a时 等号成立 由 解得 所以当且仅当a 2且b 4时 oab的面积s取最小值4 此时 直线的方程为 即2x y 4 0 练习题 1 如果ac 0 bc 0 那么直线ax by c 0不通过 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 c 2 直线l过点p 1 3 且与x y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6 则l的方程是 a 3x y 6 0 b x 3y 10 0 c 3x y 0 d x 3y 8 0 a 3 若直线 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1在x轴上的截距为1 则实数m是 a 1 b 2 c d 2或 d 4 已知直线l ax by c 0 a2 b2 0 点p x0 y0 在l上 则l的方程可化为 a a x x0 b y y0 c 0 b a x x0 b y y0 0 c a x x0 b y y0 c 0 d a x x0 b y y0 0 d 5 经过点 3 2 在两坐标轴上截距相等的直线方程为 2x 3y 0 x y 5 0 6 若点 a 12 在过点 1 3 及点 5 7 的直线上 则a 10 两条直线的位置关系 一 一 两条直线相交和平行与重合条件 1 已知两条直线的方程为l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0 它们相交的条件是a1b2 a2b1 0 l1与l2平行的条件是a1b2 a2b1 0且c1b2 c2b1 0 或 或 l1与l2重合的条件是a1 a2 b1 b2 c1 c2 或 2 判定两直线相交 平行 重合的步骤 已知两条直线的方程为l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则判断l1 l2是否平行相交与重合的步骤如下 1 给a1 a2 b1 b2 c1 c2赋值 2 计算d1 a1b2 a2b1 d2 b1c2 b2c1 3 若d1 0 则l1与l2相交 4 若d1 0 d2 0 则l1与l2平行 5 若d1 0 d2 0 则l1与l2重合 例1 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程 1 1 2 y x 1 2 1 4 2x 3y 5 0 答案 1 x 2y 5 0 2 2x 3y 10 0 二 两条直线垂直的条件 已知两条直线l1 a1x b1y c1 0与直线l2 a2x b2y c2 0 由于直线l1与直线a1x b1y 0平行或重合 直线l2与直线a2x b2y 0平行或重合 因此我们研究l1与l2垂直的条件时 可以转化为研究直线l1 a1x b1y 0与直线l2 a2x b2y 0垂直的条件 当l1 l2时 通过坐标原点作直线l1 l1 l2 l2 则l1 l2 在直线l1 l2 上分别取两点a x1 y1 b x2 y2 都不是原点 由勾股定理得 化简得x1x2 y1y2 0 由假定可知b1 0 b2 0 因此y1 y2 代入上式得 因为a b都不在y轴上 所以x1x2 0 因此 即a1a2 b1b2 0 由于上面推导的每一步都是可逆的 因此可以证明两条直线l1 l1垂直 从而也就证明了l1与l2垂直 假定l1 l2中有一条直线与坐标轴平行或重合 当l1 l2时 可以推出l1 l2中的另一条也与坐标轴平行或重合 因此同样有a1a2 b1b2 0 反过来 由条件a1a2 b1b2 0也可以推出l1 l2 例2 判断下列各组中的两条直线是否垂直 1 2x 4y 7 0与2x y 5 0 2 y 3x 1与y x 5 3 2x 7与3y 5 0 解 1 因为a1 2 b1 4 a2 2 b2 1 得a1a2 b1b2 0 所以这两条直线垂直 2 y 3x 1与y x 5 解 2 由k1 3 k2 得k1k2 1 所以两条直线垂直 3 2x 7与3y 5 0 解 3 因为a1 2 b1 0 a2 0 b2 3 得a1a2 b1b2 0 所以两条直线垂直 例3 求证 直线ax by c1 0与直线bx ay c2 0垂直 证明 因为ab b a 0 所以这两条直线垂直 一般地 我们可以把与直线ax by c 0垂直的直线方程表示为bx ay d 0 例4 求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程 1 1 3 y 2x 3 2 1 2 2x y 10 0 解 1 设所求的直线方程为y x b 因为直线过点 1 3 代入方程 得b 即x 2y 5 0 所以所求的直线方程为y x 2 1 2 2x y 10 0 解 2 设所求的直线方程为x 2y c 0 因为直线过点 1 2 代入方程 解得c 3 所以所求的直线方程为x 2y 3 0 练习题 1 如果直线ax 2y 2 0与直线3x y 2 0平行 那么系数a的值为 a b 6 c 3 d b 2 若直线 2a 5 x a 2 y 4 0与直线 2 a x a 3 y 1 0互相垂直 则 a a 2 b a 2 c a 2或a 2 d a 2 0 2 c 3 如果直线ax y 4 0与直线x y 2 0相交于第一象限 则实数a的取值范围是 a 1 1 c a2 a 4 直线ax 4y 1 0与直线3x y c 0重合的条件是 a a 12 c 0 b a 12 c c a 12 c d a 12 c d 5 若两条直线l1 l2的方程分别为a1x b1y c1 0 a2x b2y c2 0 l1与l2只有一个公共点 则 a a1b1 a2b2 0 b a1b2 a2b1 0 c d b 6 已知点p 1 1 和直线l 3x 4y 20 0 则过p与l平行的直线方程是 过p与l垂直的直线方程是 3x 4y 1 0 4x 3y 7 0 7 设直线l1 m 2 x 3y 2m 0与l2 x my 6 0 当m 时 l1与l2相交 当m 时 l1与l2平行 当m 时 l1 l2 m m 3且m 1 1 两条直线的位置关系 2 一 直线系 一般地说 具有某种共同属性的一类直线的集合 称为直线系 它的方程叫直线系方程 直线系方程中除含变量x y以外 还可以根据具体条件取不同值的变量 简称参数 1 经过定点的直线系方程 1 过定点p x0 y0 的直线y y0 k x x0 k为参数 是一束直线 方程中不包括与y轴平行的那一条 即x x0 所以y y0 k x x0 是经过点p x0 y0 的直线系方程 2 直线y kx b 其中k为参数 b为常数 它表示过定点 0 b 的直线系 但不包括y轴 即x 0 3 经过两条直线交点的直线系方程 l1 a1x b1y c1 0 a12 b12 0 与l2 a2x b2y c2 0 a22 b22 0 交点的直线系为m a1x b1y c1 n a2x b2y c2 0 其中m n为参数 m2 n2 0 当m 1 n 0时 方程即为l1的方程 当m 0 n 1时 方程即为l2的方程 上面的直线系可改写成 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 其中 为参数 但是方程中不包括直线l2 这个参数方程形式在解题中较为常用 m a1x b1y c1 n a2x b2y c2 0 其中m n为参数 m2 n2 0 直线系方程 2 平行直线系 直线y kx b 其中k为常数 b为参数 如直线y 3x b表示的是斜率为3的所有直线 这样的直线系方程叫做平行直线系方程 1 解 设过两直线交点的直线方程为 将点 2 1 代入方程 得 故所求直线方程为 x 2y 4 0 解得 1 过点 2 1 2 和直线3x 4y 5 0垂直 例1 求过两直线x 2y 4 0和x y 2 0的交点 且满足下列条件的直线l的方程 1 解2 联立方程组 过两点 2 1 0 2 的直线方程为 即x 2y 4 0为所求 解得两线的交点 0 2 2 解法1 将 1 中所设的方程变为 解得所求直线的斜率为 由已知得 故所求直线方程为 4x 3y 6 0 解得 1 过点 2 1 2 和直线3x 4y 5 0垂直 例1 求过两直线x 2y 4 0和x y 2 0的交点 且满足下列条件的直线l的方程 设和直线3x 4y 5 0垂直的方程为 将点 0 2 代入上式解得 m 6 2 解法2 联立方程组 故直线的方程为 4x 3y 6 0 4x 3y m 0 解得两线的交点 0 2 例2 设三条直线 x 2y 1 2x ky 3 3kx 4y 5交于一点 求k的值 解 解方程组 解得 即前两条直线的交点为 因为三直线交于一点 所以第三条直线必过此定点 故 解得k 1或k 例3 已知直线 a 2 y 3a 1 x 1 1 求证无论a为何值 直线总过第一象限 2 为使这直线不过第二象限 求a的范围 解 1 将方程整理得为a 3x y x 2y 1 0 由直线系方程知对任意实数a 该直线恒过直线3x y 0与x 2y 1 0的交点 联立3x y 0与x 2y 1 0解得 直线恒过第一象限内的定点 2 当a 2时 直线为x 此时该直线不过第二象限 当a 2时 直线方程化为 若直线不过第二象限 则满足 解得a 2 综上得 当a 2时 直线不过第二象限 例4 下面三条直线l1 4x y 4 0 l2 mx y 0 l3 2x 3my 4 0不能构成三角形 求m的取值集合 解 1 三条直线交于一点时 由 解得l1和l2的交点a的坐标 由a点在l3上可得 解之m 或m 1 2 至少两条直线平行或重合时 l1 l2 l3至少两条直线斜率相等 这三条直线中至少两条直线平行或重合 当m 4时 l1 l2 当m 时 l1 l3 综合 1 2 可知 当m 1 4时 三条直线不能组成三角形 因此m的取值范围是 例5 p1 x1 y1 是直线l f x y 0上一点 p2 x2 y2 是直线l外的一点 则方程f x y f x1 y1 f x2 y2 0所表达的直线与l的关系是 a 重合 b 平行 c 垂直 d 位置关系不定 b 练习题 1 过两直线3x y 1 0与x 2y 7 0的交点 并且与第一条直线垂直的直线方程是 a x 3y 7 0 b x 3y 13 0 c 2x 7 0 d 3x y 5 0 b 2 过点p 1 4 和q a 2a 2 的直线与直线2x y 3 0平行 则a的值 a a 1 b a 1 c a 1 d a 1 b 3 直线2x y m 0和x 2y n 0的位置关系是 a 平行 b 垂直 c 相交但不垂直 d 不能确定 与m n取值有关 c 4 经过两条直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点 且平行于直线4x 3y 7 0的直线方程是 4x 3y 6 0 5 直线ax 4y 2 0与直线2x 5y c 0垂直相交于点 1 m 则a c m 10 12 2 两条直线的交点坐标 我们知道 平面内任意一条直线都会与一个二元一次方程对应 即直线上的点的坐标是这个方程的解 反之亦成立 那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否有解有没有关系 如果有 是什么关系 问题 如果这两条直线相交 由于交点同时在这两条直线上 交点的坐标一定是这个方程组的公共解 反之 如果这两个二元一次方程只有一个公共解 那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点 思考 若方程组没有公共解呢 两直线应是什么位置关系 据此 我们有 例1分别判断下列直线是否相交 若相交 求出它们的交点 例 某商品的市场需求量y1 万件 市场供应量y2 万件 与市场价格x 元 件 分别近似地满足下列关系 当y1 y2时的市场价格称为市场平衡价格 此时的需求量称为平衡需求量 求平衡价格和平衡需求量 若要使平衡需求量增加 万件 政府对每件商品应给予多少元补贴 分析 市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两相应直线交点的横坐标和纵坐标 即为相应方程组的解 发散思维 结论 此方程表示经过直线和交点的直线系方程 除去直线 练习 p87练习 补充练习 求证 不论为何实数 直线恒过一定点 并求出此定点的坐标 分析 方法 普通方法求交点 求斜率 利用点斜式写出方程 方法 利用过两直线交点的直线系方程 分析 化为过两直线交点的直线系方程 课堂小结 通过解两条直线对应的方程构成的方程组来研究两条直线的位置关系 方程组有一解 两直线有唯一公共点相交 方程组有无数组解 两直线有无数个公共点重合 方程组无解 两直线无公共点平行 平面直角坐标系中的距离公式 问题提出 1 直角坐标平面上两点间的距离公式是什么 它有哪些变形 2 构成平面图形的基本元素为点和直线 就距离而言有哪几种基本类型 3 已知平面上三点a 2 1 b 2 2 c 8 6 若求 abc的面积需要解决什么问题 4 我们已经掌握了点与点之间的距离公式 如何求点到直线的距离 两条平行直线间的距离便成为新的课题 知识探究 一 点到直线的距离 思考1 点到直线的距离的含义是什么 在直角坐标系中 若已知点p的坐标和直线l的方程 那么点p到直线l的距离是否确定 思考2 若点p在直线l上 则点p到直线l的距离为多少 若直线l平行于坐标轴 则点p到直线l的距离如何计算 思考3 一般地 设点p x0 y0 到直线l ax by c 0的距离为d 试设想d的值与哪些元素有关 思考4 你能设计一个方案求点p x0 y0 到直线l ax by c 0的距离吗 这是点到直线的距离公式 当直线l平行于坐标轴时 公式是否成立 思考5 根据上述分析 点p x0 y0 到直线l ax by c 0的距离为 知识探究 二 两平行直线的距离 思考1 两条平行直线的相对位置关系常通过距离来反映 两平行直线间的距离的含义是什么 思考2 你有什么办法求两条平行直线之间的距离 思考4 根据上述思路 你能推导出两平行直线l1 ax by c1 0与l2 ax by c2 0 c1 c2 之间的距离d的计算公式吗 思考3 直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0平行的条件是什么 理论迁移 例1求点p 1 2 到直线的距离 例2已知点a 1 3 b 3 1 c 1 0 求 abc的面积 例3已知直线和与 l1与l2是否平行 若平行 求l1与l2的距离 例4已知直线l过点 且原点o到直线l的距离为 求直线l的方程 点到直线的距离 设坐标平面上有点p x1 y1 和直线l ax by c 0 a2 b2 0 我们来寻求点p到直线l的距离 作直线m通过点p x1 y1 并且与直线l垂直 设垂足为p0 x0 y0 则问题可转化为求p和p0两点间的距离问题 由距离公式只要列出关于x1 x0 y1 y0的两个方程 就可以求出这两点的距离 由m l可求得直线m的方程为b x x1 a y y1 0 由p0 m得b x0 x1 a y0 y1 0 因为点p0又在直线l上 可知ax0 by0 c 0 因此c ax0 by0 所以ax1 by1 c ax1 by1 ax0 by0 即a x1 x0 b y1 y0 ax1 by1 c 由 两式可以求出x1 x0和y1 y0 但我们只需求 x1 x0 2 y1 y0 2 因此把 式和 式两边平方后相加 整理就可得到 a2 b2 x1 x0 2 y1 y0 2 ax1 by1 c 2 即 x1 x0 2 y1 y0 2 容易看出等式左边即为点p x1 y1 到直线l的距离的平方 由此我们得到点p x1 y1 到直线l ax by c 0的距离d的计算公式 两条平行线间的距离 已知两条平行线l1 ax by c1 0与l2 ax by c2 0 求它们之间的距离 在l1 ax by c1 0上取一点p x0 y0 所以ax0 by0 c1 0 则p点到l2的距离是 因为ax0 by0 c1 所以两条平行线之间的距离是 例1 求点p 1 2 到直线2x y 5的距离 解 将直线方程化为一般式 2x y 5 0 由点到直线的距离公式 得 d 例2 求平行线l1 12x 5y 8 0与l2 12x 5y 24 0之间的距离 解 由平行线间距离公式 直线l1与l2之间的距离为 即两条平行线之间的距离等于 例3 求过点a 1 2 且与原点的距离为的直线方程 解 设直线的方程为y 2 k x 1 则kx y 2 k 0 所以 解得k 1或k 7 故所求的直线方程