转化法在解直角三角形中的应用.doc

转化法在解直角三角形中的应用在中考数学中，解直角三角形是一个非常重要的考点。下面就向同学们介绍转化法在解直角三角形中的应用，供同学们学习时参考。1、等线段转化法例1、如图1所示，点P在O的直径BA的延长线上，AB2PA，PC切O于点C，连结BC。求的正弦值解析：连结OC，因为，PC切O于点C，所以，PCOC, 所以，在直角三角形POC中，sinp=,因为，AB是圆的直径，所以，AB=2OA,因为，AB=2PA，所以，PA=OA=OC，所以，PO= PA+OA=2OC,所以，sinp=.评注：在求角的三角函数值时，利用线段的等量代换，把不需要的量用相等的量替换，从而达到约分的目的，也就求得问题的答案了。2、等比转化法例2、如图2所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD和弦BC相交于点P，如果AB=5,CD=3，求cosBPD的值。解析：如图3所示，连接BD，因为，AB是圆的直径，所以，ADB=90，在直角三角形BPD中，cosBPD=,因为，C=A，D=PBA,所以，CPDAPB,所以，=,因为，AB=5,CD=3，所以，cosBPD=。评注：利用直径上的圆周角是直角，构造直角三角形，后借助三角形的相似，把线段的比转化成已知线段的比。3、等角转化法例3、如图4所示，已知是O的直径，弦，那么的值是 解析：因为，ABD和ACD是同弧上的圆周角，所以，ABD=ACD；因为，是O的直径，所以，ACB=90，因为，弦，所以，AEC=90，所以，ACD=ABC,所以，ABD=ABC，在直角三角形ABC中，因为，AB=3,所以，sinABC=，所以，sinABD=。评注：求一个角的三角函数值时，求与这个角相等角的三角函数值，是解决这类问题的一条基本思路。4、高线转化法例4、如图5-（1）所示，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 =bcsinA 即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如图5-（2）所示，在ABC中，CDAB于D，ACD=， DCB= ， 由公式，得ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin，即 ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin 你能利用直角三角形边角关系，消去中的AC、BC、CD吗？不能，说明理由；能，写出解决过程解析：能。因为，CDAB于D，所以，三角形ADC和三角形BDC都是直角三角形，在直角三角形ADC中，cos=，所以，AC=；在直角三角形BDC中，cos=，所以，BC=；ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin所以，sin(+)= CDsin+ CDsin整理，得：sin(+)= cossin+ cossin。评注：当三角形是一般的三角形时，常通过作三角形的一条高，把一般的三角形转化成直角三角形，这也是求三角函数值的一种基本思路。5、转化成直角三角形法例5、如图6所示，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A4.5mB4.6mC6mD8m解析：设斜面上相邻两树在斜面上的触点分别为A和C，过A作与水平线平行的直线，过C作与水平线垂直的直线，设两条直线相交于点B，根据题意，知道：AB=4，=，所以，BC=2,所以，AC=4