2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和教学案 苏教版.doc

第三节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为q(nn*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1amqnm.(2)前n项和公式：等比数列的常用性质1在等比数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则amanapaqa.2若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍然是等比数列3等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为1时，n为偶数时除外一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)g为a，b的等比中项g2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.()(5)数列an为等比数列，则s4，s8s4，s12s8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材改编1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()a5 b5 c4 d4caa3a72816，a54.又a5a3q20，a54.2等比数列an的前n项和为sn，已知s3a210a1，a59，则a1()a. b c. dcs3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1，即公比q29，又a5a1q4，a1.故选c.3在数列an中，a12，an12an，sn为an的前n项和若sn126，则n .6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又sn126，126，解得n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 mb，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存8 gb(1 gb210 mb)39由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n8210213，n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒)考点1等比数列的基本运算 等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q1和q1两类分别讨论1.设sn为等比数列an的前n项和，已知3s3a42,3s2a32，则公比q()a3b4c5d6b因为3s3a42,3s2a32，所以两式相减，得3(s3s2)(a42)(a32)，即3a3a4a3，得a44a3，所以q4.2(2019全国卷)记sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则s5 .设等比数列的公比为q，由已知a1，aa6，所以q5，又q0，所以q3，所以s5.3等比数列an的各项均为实数，其前n项和为sn，已知a3，s3，则a2 .3或法一：(直接法)数列an是等比数列，当q1时，a1a2a3，显然s33a3.当q1时，由题意可知解得q或q1(舍去)a2(2)3.综上可知a23或.法二：(优解法)由a3得a1a23.3，即2q2q10，q或q1.a23或.4(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记sn为an的前n项和，若sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nn)(2)若an(2)n1，则sn.由sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则sn2n1.由sm63得2m64，解得m6.综上，m6.抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优，如t3，方法二避免了讨论考点2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若q(q是不为零的常数)，则数列an是等比数列；(2)等比中项法：若aanan2(nn，an0)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若anaqn(a，q是不为零的常数)，则数列an是等比数列 设数列an中，a11，a2，an2an1an，令bnan1an(nn*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式逆向问题已知数列an的前n项和为sn，且sn2an3n(nn*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由解(1)当n1时，s1a12a13，解得a13，当n2时，s2a1a22a26，解得a29，当n3时，s3a1a2a32a39，解得a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：sn2an3n，sn12an13n3，an1sn1sn2an12an3，即2an3an1，2(an3)an13，2，存在3，使得数列an3是首项为a136，公比为2的等比数列an362n1，即an3(2n1)(nn*)(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2) 已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题教师备选例题设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及sn14an2，有a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为3类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 (1)一题多解已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()a7b5 c5d7(2)设sn是等比数列an的前n项和，若3，则()a2 b. c. d1或2(3)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q .(1)d(2)b(3)2(1)法一：(基本量法)设数列an的公比为q，则由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二：(性质法)由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.(2)设s2k，s43k，数列an为等比数列，s2，s4s2，s6s4也为等比数列，又s2k，s4s22k，s6s44k，s67k，故选b.(3)由题意，得解得所以q2.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度教师备选例题数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式an . 设此数列an的公比为q，由题意，知s奇s偶4s偶，所以s奇3s偶，所以q.又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)aq364，所以a1q4.又q，所以a112，所以ana1qn112n1.1.已知数列an是等比数列，若a21，a