2021版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线中的定点、定值问题教学案 苏教版.doc

第八节圆锥曲线中的定点、定值问题最新考纲会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题考点1定点问题直线过定点1.动直线l过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)2动直线l过定点问题的解题步骤第一步：设ab直线ykxm，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；第二步：由ap与bp关系(如kapkbp1)，得一次函数kf(m)或者mf(k)；第三步：将kf(m)或者mf(k)代入ykxm，得yk(xx定)y定 (2017全国卷)已知椭圆c：1(ab0)，四点p1(1,1)，p2(0,1)，p3，p4中恰有三点在椭圆c上(1)求c的方程；(2)设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点解(1)由于p3，p4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆c经过p3，p4两点又由知，椭圆c不经过点p1，所以点p2在椭圆c上因此解得故椭圆c的方程为y21.(2)证明：设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|2，可得a，b的坐标分别为，则k1k21，得t2，不符合题设从而可设l：ykxm(m1)将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点p做相互垂直的直线交圆锥曲线于ab，则ab必过定点.本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定ap与bp条件(如kapkbp定值，kapkbp定值)，直线ab依然会过定点教师备选例题过抛物线c：y24x的焦点f且斜率为k的直线l交抛物线c于a，b两点，且|ab|8.(1)求l的方程；(2)若a关于x轴的对称点为d，求证：直线bd过定点，并求出该点的坐标解(1)易知点f的坐标为(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|ab|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)由抛物线的对称性知，d点的坐标为(x1，y1)，直线bd的斜率kbd，直线bd的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线bd的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0)1.已知抛物线c的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点a(1,2)为抛物线c上一点(1)求抛物线c的方程；(2)若点b(1，2)在抛物线c上，过点b作抛物线c的两条弦bp与bq，如kbpkbq2，求证：直线pq过定点解(1)若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，代入点a(1,2)，可得a4，所以抛物线方程为y24x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2my，代入点a(1,2)，可得m，所以抛物线方程为x2y.综上所述，抛物线c的方程是y24x或x2y.(2)证明：因为点b(1，2)在抛物线c上，所以由(1)可得抛物线c的方程是y24x.易知直线bp，bq的斜率均存在，设直线bp的方程为y2k(x1)，将直线bp的方程代入y24x，消去y，得k2x2(2k24k4)x(k2)20.设p(x1，y1)，则x1，所以p.用替换点p坐标中的k，可得q(k1)2,22k)，从而直线pq的斜率为，故直线pq的方程是y22kx(k1)2在上述方程中，令x3，解得y2，所以直线pq恒过定点(3,2)2已知圆x2y24经过椭圆c：1(ab0)的两个焦点和两个顶点，点a(0,4)，m，n是椭圆c上的两点，它们在y轴两侧，且man的平分线在y轴上，|am|an|.(1)求椭圆c的方程；(2)证明：直线mn过定点解(1)圆x2y24与x轴交于点(2,0)，即为椭圆的焦点，圆x2y24与y轴交于点(0，2)，即为椭圆的上下两顶点，所以c2，b2.从而a2，因此椭圆c的方程为1.(2)证明：设直线mn的方程为ykxm.由消去y得(2k21)x24kmx2m280.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线am的斜率k1k；直线an的斜率k2k.k1k22k2k.由man的平分线在y轴上，得k1k20.又因为|am|an|，所以k0，所以m1.因此，直线mn过定点(0,1)动圆过定点动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角 (2019北京高考)已知抛物线c：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线c的方程及其准线方程；(2)设o为原点，过抛物线c的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线c于两点m，n，直线y1分别交直线om，on于点a和点b.求证：以ab为直径的圆经过y轴上的两个定点解(1)由抛物线c：x22py经过点(2，1)，得p2.所以抛物线c的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)抛物线c的焦点为f(0，1)，设直线l的方程为ykx1(k0)由 得x24kx40.设m，n，则x1x24.直线om的方程为yx.令y1，得点a的横坐标xa.同理得点b的横坐标xb.设点d(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，则n1或n3.综上，以ab为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3)动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题. (2019苏州二模)已知椭圆e：1(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为.(1)求椭圆e的标准方程；(2)如图，已知p(t,0)为椭圆e外一动点，过点p分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆e于点a，b和点c，d，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值解(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，c，c2a2b2，解得a2，c，b1，椭圆e的标准方程是y21.(2)由题意，得直线l1的方程为yk1(xt)，代入椭圆e的方程中，并化简得，(14k)x28ktx4kt240，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1,2.x1x2，x1x2.因为pa|x1t|，pb|x2t|，所以papb(1k)|x1t|x2t|(1k)|t2(x1x2)tx1x2|(1k)，同理，pcpd.因为k1，k2为定值，所以为定值考点2定值问题圆锥曲线中定值问题的2大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)引起变量法：其解题流程为 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：y21，点p(x1，y1)，q(x2，y2)是椭圆c上两个动点，直线op，oq的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求opq的面积s是否为定值，并说明理由解(1)证明：k1，k2均存在，x1x20.又mn0，y1y20，即y1y2，k1k2.(2)当直线pq的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0.又点p(x1，y1)在椭圆上，y1，|x1|，|y1|.spoq|x1|y1y2|1.当直线pq的斜率存在时，设直线pq的方程为ykxb.联立得方程组 消去y并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即b20)spoq|pq|b|2|b|1.综合知poq的面积s为定值1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得教师备选例题已知动圆p经过点n(1,0)，并且与圆m：(x1)2y216相切(1)求点p的轨迹c的方程；(2)设g(m,0) 为轨迹c内的一个动点，过点g且斜率为k的直线l交轨迹c于a，b两点，当k为何值时，|ga|2|gb|2是与m无关的定值？并求出该定值解(1)由题意，设动圆p的半径为r，则|pm|4r，|pn|r，可得|pm|pn|4rr4，点p的轨迹c是以m，n为焦点的椭圆，2a4,2c2，b，椭圆的方程为1.即点p的轨迹c的方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知2m2，直线l：yk(xm)，由得(34k2)x28k2mx4k2m2120，x1x2，x1x2，y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km，y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m2，|ga|2|gb|2(x1m)2y(x2m)2y(x1x2)22x1x22m(x1x2)2m2(y1y2)22y1y2(k21).要使|ga|2|gb|2的值与m无关，需使4k230，解得k，此时|ga|2|gb|27.1.已知抛物线c：y22px经过点p(1,2)，过点q(0,1)的直线l与抛物线c有两个不同的交点a，b，且直线pa交y轴于m，直线pb交y轴于n.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设o为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线c的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又pa，pb与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3.所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直线pa的方程为y2(x1)令x0，得点m的纵坐标为ym22.同理得点n的纵坐标为yn2.由，得1ym，1yn.所以2.所以为定值2(2017全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线yx2mx2与x轴交于a，b两点，点c的坐标为(0,1)当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现acbc的情况？说明理由；(2)证明过a，b，c三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解(1)不能出现a