数学人教版九年级下册应用.doc

第二十七章相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度你能采用什么办法呢？ (1)回忆判定两个三角形相似的条件有哪些；(2)每个小组准备好小镜子、标杆、皮尺等测量工具分组活动，全班交流研讨，并运用所学知识验证结论的正确性 图272197说明与建议 说明：思维，往往是从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验悬念激趣胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间原高146.59米，但经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？说明与建议 说明：通过金字塔的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能对相似三角形的应用有初步的了解和认识建议：测量金字塔高度问题可以用两种方法：图272198方法一：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度方法二：利用镜面反射(如图272198，点A处放置一面小镜子，根据光的反射定律入射角等于反射角构造相似三角形)素材二考情考向分析命题角度1 利用太阳光求物体的高度根据太阳光是平行光线可以得到同一时刻同一地点下两个物体及其影长是成比例的，即物体、光线、影子所组成的两个三角形相似可利用相似的性质来求物体的高度或在阳光下的影子的长度例1柳州中考小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图272199)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)图272199A10米B12米C15米D22.5米命题角度2 利用影子求物体的高度(影子落在墙上时)当物体的影子有一部分落在墙上时，我们要考虑如何把墙上的影子高度进行转化通过做辅助线可以把物体分成两部分，一部分物体的高度就是影子在墙上的高度，另一部分可以看做影子完全落在水平面上，即可利用相似三角形的相关知识来求解例黑龙江中考在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图272200所示，其中木杆AB2 m，它的影子BC1.6 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM1.2 m，MN0.8 m，则木竿PQ的长度为_2.3_ m.图272200命题角度3 利用标杆(或三角尺)解决实际问题借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似三角形，进而利用对应边成比例解决问题在这里如何操作，利用标杆或三角尺构造相似三角形是解此类题的关键例北京中考如图272201，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE40 cm，EF20 cm，测得边DF离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则树高AB_5.5_ m. 图272201命题角度4 利用相似三角形测宽把要测量的不能直接到达的宽与能够直接量出的宽构造成一对相似三角形的对应边，再测量这对三角形的另一对对应边，根据相似三角形的对应边成比例求出要测量的不能直接到达的宽度例北京中考如图272202，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上若测得BE20 m，EC10 m，CD20 m，则河的宽度AB等于(B)图272202A60 m B40 m C30 m D20 m命题角度5 多次利用相似三角形测高利用视线和两根已知长的标杆，构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出建筑物的高例潍坊中考如图272203，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是_54_米图272203素材三教材习题答案P31练习1如图，ABCDEF，AF与BE相交于点G，且AG2，GD1，DF5，求的值解：AG2，GD1，ADAGGD3.ABCDEF，.2如图，在ABC中，DEBC，且AD3，DB2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比解：ADEABC，相似比为35.P34练习1根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由：(1)A40，AB8 cm，AC15 cm，A40，AB16 cm，AC30 cm；(2)AB10 cm，BC8 cm，AC16 cm，AB16 cm，BC12.8 cm，AC25.6 cm.解： (1)，AA，ABCABC.(2)，ABCABC.2图中的两个三角形是否相似？为什么？解： (1)，这两个三角形相似(2)，DCEBCA，DCEBCA.3要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？解： 分三种情况，设另外两边长分别为x cm，y cm(xy)，(1)若长为2 cm的边与长为4 cm的边是对应边，则，解得x，y3.(2)若长为2 cm的边与长为5 cm的边是对应边，则，解得x，y.(3)若长为2 cm的边与长为6 cm的边是对应边，则，解得x，y.综上所述，另外两条边长应是 cm，3 cm或 cm， cm或 cm， cm.P36练习1底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论解： 都相似，证明略2如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高求证：(1)ACDABC；(2)CBDABC.证明： (1)ADCACB，AA，ACDABC.(2)CDBACB，BB，CBDABC.3如果RtABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k是正整数)为直角边的直角三角形一定与RtABC相似吗？为什么？解：相似因为两边成比例且夹角相等的两个三角形相似P39练习1判断题(正确的画“”，错误的画“”)(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；()(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍()解： (1) 三角形的三边长同时扩大为原来的5倍后得到的三角形与原三角形的三边对应成比例，所以这两个三角形相似，再根据相似三角形的对应线段的比等于相似比即可知它的角平分线也扩大为原来的5倍(2) 一个三角形的各边长扩大为原来的9倍后得.所以错误2如图，ABC与ABC相似，AD，BE是ABC的高，AD，BE是ABC的高，求证.证明：ABCABC，ABCABC.又ABD和ABD都是直角三角形，ABDABD.同理，.3在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？解： ，即放大到原来的3倍，面积放大到原来的329(倍)P41练习1在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高度是多少？解： 设这栋楼的高度为x m，根据同一时刻物高和影长成比例，得，解得x54.答：这栋楼的高度是54 m.2如图，测得BD120 m，DC60 m，EC50 m，求河宽AB.解： ABCECD90，ADBEDC，ABDECD，可得，即，AB100 m.答：河宽AB为100 m.P42习题27.21有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长为4 cm，求其他两边的实际长度解： 设其他两边的实际长度都为x m，则，解得x20，即其他两边的实际长度为20 m.2根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由：(1)AB10 cm，BC12 cm，AC15 cm，AB150 cm，BC180 cm，AC225 cm；(2)A70，B48，A70，C62.解： (1)；，ABCABC.(2)C180(7048)62，AA70，CC62，ABCABC.3如图，(1)判断两个三角形是否相似；(2)求x和y的值解：(1)设网格中小正方形的边长为1，则AB2，BC2，AC2，DE，EF2，DF.，ABCDEF.(2)，又ACBECD，ABCEDC.，BD，x，y98.4如图，ABC中，DEBC，EFAB，求证ADEEFC.解： DEBC，AEDC.又EFAB，ACEF.ADEEFC.5如图，ABC中，DEFGBC，找出图中所有的相似三角形解：DEBC，ADEABC.同理，AFGABC.ADEAFGABC.6如果把两条直角边分别为30 cm，40 cm的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？解：缩小后的直角三角形与原直角三角形相似，且相似比为，所以缩小后的直角三角形的两条直角边的长分别为3018(cm)，4024(cm)，面积为1824216(cm2)7如图，AD是RtABC斜边上的高若AB4 cm，BC10 cm，求BD的长解：AD是RtABC斜边上的高，ADBCAB90.又BB，ADBCAB.，即，BD1.6.8如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA3OD，OB3OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？解： CDAB.理由：，.又CODBOA，CODBOA.CDAB.9如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2 m，测得AB1.6 m，BC12.4 m，楼高CD是多少？解： EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD，.CD10.5(m)答：楼高CD是10.5 m.10如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部这时LMM等于SMT吗？如果王青身高1.55 m，她估计自己眼睛距地面1.50 m，同时量得LM30 cm，MS2 m，这栋楼有多高？解： LMMSMT.在LMM和SMT中，LMMSMT，MLMTSM90，MLMTSM.，TS10(m)答：这栋楼高10 m.11如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，EFBC，FGCD，四边形AEFG和四边形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论解： 相似证明如下：EFBC，AEFABC.AEFB，AFEACB，.同理可证，AFGACD，AGFADC，.AFEAFGACBACD，即EFGBCD.又EAGBAD，四边形AEFG和四边形ABCD一直保持相似12如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，试确定点D(或E)的位置解： DEBC，ADEABC.，ADAB.即点D在距点A的AB处13如图，ABC中，CD是边AB上的高，且，求ACB的大小解： ，又ADCCDB90，ADCCDB.ADCB，ACDB，AACBBDCBACBACD2ACB180.ACB90.14如图，ABC中，AB8，AC6，BC9.如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DEBC，交AC于点E.记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式，并画出它的图像解： 运动x秒时，BD2x，AD82x.DEBC，ADEABC.，即.y(82x)x9.02x8，0x4.yx9(0x4)画出它的图像如下：素材四图书增值练习当堂检测1. （2013重庆）已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为3:4，则ABC与DEF的面积比为（ ）A4:3 B3:4 C16:9 D9:162. 若ABCDEF，它们的面积比为4:1，则ABC与DEF的相似比为（ ）A2:1 B1:2 C4:1 D1:43. 已知ABC的三条边长分别为2 cm，5 cm，6 cm，现要利用长度为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ）A10 cm，25 cm，30 cmB10 cm，30 cm，36 cm或10 cm，12 cm，30 cmC10 cm，30 cm，36 cmD10 cm，25 cm，30 cm或12 cm，30 cm，36 cm4. 已知AB/CD，AC与BD交于点O，AO:AD=2:5，若AOB的周长为12 cm，则COD的周长是_ .5. 三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示，其中三角尺所在平面与墙面平行）现测得OA20 cm，OA50 cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 参考答案1D2A3D418 cm52:5能力培优专题一 相似形中的开放题1如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似1 已知：如图，ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，BDE+BCE=180.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二 相似形中的实际应用题3如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三 相似形中的探究规律题4某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在RtABC中，C90，AC30 cm，AB50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A24 B25 C26 D275如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3（1）如图，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长； （3）如图，三个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长； （4）如图，n个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长专题四 相似形中的阅读理解题6某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方，请你协助他们探索下列问题： (1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；(3)如图1，是完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径. 图1 图2专题五 相似形中的操作题7宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EFAD，交AD的延长线于F请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形8如图，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起（1）操作：如图，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点 F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）求证：BHGD=BF2；（2）操作：如图，ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）， 且CF始终经过点A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG探究：FD+DG= DB，请给予证明专题六 相似形中的综合题9正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=时，四边形ABCN的面积最大10如图，在锐角ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，AC长为半径作O，交BC于E，过O作ODBC交O于D，连接AE、AD、DC（1）求证：D是的中点；（2）求证：DAO =B +BAD；（3）若，且AC=4，求CF的长. 【知识要点】1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8相似三角形对应高的比等于相似比.9相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1或 【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC=， A=A，若ADEABC时，即，解得AE=.若ADEACB时，即，解得AE=.当AE=或时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似2解：（1）ADEACB，CEFDBF，EFBCFD (不唯一). （2）由BDE+BCE=180，可得ADE=BCE. A=A，ADEACB; =. A=A， AEBADC;BDE+BCE=180，BCE+ECF=180， ECF=BDF， 又F=F， CEFDBF;=，而F=F，EFBCFD.3解： OA:OCOB:ODn 且AOBCOD,AOBCOD. OA:OCAB:CDn , 又CDb,AB=CDn nb，x.4C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n，且每条纸条的长度都不小于5cm，设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N，因为AMNACB，所以又因为AM=AC-1n=30-n，MN5 cm，所以，得n26.25，所以n最多取整数26 5解：（1）在题图中过点C作CNAB于点N，交GF于点M 因为C=90，AC=4，BC=3，所以AB=5 因为5CN=34，所以CN=因为GFAB，所以CGF=A，CFG=B，所以CGFCAB，所以设正方形的边长为x，则，解得所以正方形的边长为 （2）同（1），有，解得 （3）同（1），有，解得 （4）同（1），有，解得 6解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则=,x=2m.(3)两个扇形相似，新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120.设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15.7证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，N为BC的中点，.在RtDNC中，NE=ND，.，故矩形DCEF为黄金矩形.8解：（1）证明：将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，B=D. 将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，BF=DF.HFG=B，GFD=BHF，BFHDGF， ，BHGD=BF2. （2）证明：AGCE，FAGC.CFE=CEF，AGF=CFE，AF=AG. BAD=C，BAF=DAG，ABFADG，FB=DG，FD+DG=DB，9210解：（1）证明：AC是O的直径，AEBC. ODBC，AEOD，D是的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OGBC .AGD=B. OA=OD，DAO=ADO. ADO=BAD+AGD ，DAO=B +BAD. 方法二：证明：如图，延长AD交BC于H ，则ADO=AHC.AHC=B +BAD，ADO =B +BAD. OA=OD，DAO=B +BAD. （3） AO=OC，.，. ACD=FCE，ADC=FEC=90，ACDFCE. ，即，CF=2.素材五数学素养提升记一次“测旗杆的高度”的活动活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯灯杆）的高度活动方式：分组活动、全班交流研讨活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具师：外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目测量旗杆的高度首先我们应该