自动控制原理线性系统的根轨迹法_1

1 第四章线性系统的根轨迹法 4 1引言控制系统的基本性能 稳定性 动态性能 主要取决于闭环系统特征方程的根 闭环极点 因此 确定闭环极点的位置 对于分析和设计系统具有重要意义 为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦 1948年W R Evans提出了一种图解法 根轨迹法 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法 具有简便 直观及物理概念明确等特点 因此在工程实践中获得广泛应用 本章重点研究问题根轨迹法的概念 绘制根轨迹的规则 非最小相位系统的根轨迹 广义根轨迹 增加开环极零点对根轨迹的影响 用根轨迹分析系统性能 2 考虑某一参数变化后 闭环极点运动规律 轨迹 了解闭环系统动态性能的变化 利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布 闭环传递函数分母为零称闭环系统特征方程式 4 2根轨迹法的概念 3 若闭环系统不存在零点与极点相消 闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的 例 二阶系统的根轨迹 开环增益K从零变到无穷 可以用解析方法求出闭环极点的全部数值 1 根轨迹的定义开环系统 传递函数 的某一个参数从零变化到无穷大时 闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹称为根轨迹 4 5 2 根轨迹与系统性能稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面 稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点 系统为1型系统 根轨迹上的K值就是静态速度误差系数 如果给定系统的稳态误差要求 则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置 由开环传递函数绘制根轨迹 通常采用根轨迹增益 根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系 动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计 6 对于高阶系统 不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹 根轨迹法从开环传递函数着手 通过图解法来求闭环系统根轨迹 设控制系统如图所示 3 闭环极点与开环零 极点之间的关系 7 8 根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益 用图解方法确定闭环极点 结论 闭环极点与开环零点 开环极点 根轨迹增益均有关 9 由闭环传递函数 根轨迹方程 4 根轨迹方程 10 根轨迹方程可以进一步表示为 相角条件 幅角条件 充分必要条件 模值条件 幅值条件 11 由开环零 极点指向轨迹点的向量的方位角 2 根轨迹上的点符合相角条件 且符合相角条件的点一定在根轨迹上 故相角条件是根轨迹的充要条件 1 当从变化时 S平面上系统特征根的变化形成轨迹 每一个值 按幅值条件对应于根轨迹上的n个点 12 例4 1 开环极点 无开环零点 闭环系统特征方程式 闭环特征根 1 2 3 4 验证 13 4 3根轨迹绘制的基本法则 常规根轨迹 可变参数为根轨迹增益 相角条件 180o根轨迹 规则1 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 简要证明 14 又从 为了避免丢失方程的根 在上式中作变换 这仍然是个n次方程 对应有 15 在实际系统通常是 因此有条根轨迹终止于s平面的无穷远处 这意味着在无穷远处有个无限远 无穷 零点 16 规则2 3 根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等 n m 或与开环有限零点数m相等 n m 根轨迹连续 根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化 实轴对称 特征方程的系数为实数 特征根必为实数或共轭复数 17 规则4 实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹 则必有 其右边 开环实数零点数 开环实数极点数 为奇数 这个结论可以用相角条件证明 由相角条件 18 规则5 根轨迹渐近线当n m时 则有 n m 条根轨迹分支终止于无限零点 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定 19 20 21 22 例1设单位反馈系统的前向传递函数为 2 有4条根轨迹的分支 对称于实轴 1 3 有n m 4 1 3条根轨迹渐近线 23 与实轴夹角 与实轴交点 24 25 规则6 根轨迹分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点 会合点 分离点 会合点 的坐标d由下列方程所决定 分离角为 26 系统闭环特征方程为 根轨迹若有分离点 表明闭环特征方程有重根 重根条件为 两式相除得 简单证明 27 解 1 开环零点开环极点根轨迹分支数为3条 有两个无穷远的零点 例2绘制图示系统大致的根轨迹 代入得 28 2 实轴上根轨迹 4 分离点 用试探法求解 3 趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点 29 例3 设单位反馈系统的传递函数为 1 一个开环零点 两个开环极点 两条根轨迹分支 有一个无穷远处的零点 2 渐近线与实轴重合的 实轴上根轨迹 2 试绘制闭环系统的根轨迹 解 30 3 分离点 d2不在根轨迹上 略去 31 4 由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分 圆心为 2 j0 半径为 证明略 32 规则7 根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程 确定 或 33 例4 2 设单位负反馈控制系统开环传递函数 试绘制控制系统根轨迹图 解 规则1 根轨迹起始于开环极点0 2 4 终止开环零点 规则2 根轨迹的分支数等于特征根个数n 3 规则3 根轨迹的对称性 关于实轴对称 规则4 实轴上的根轨迹线段是 2 0 4 34 规则6 根轨迹的分离点 舍去 实轴交点 与实轴夹角 规则5 根轨迹的渐近线 共有3 0 3条渐近线 35 规则7 与虚轴交点 代入实部 实部虚部 劳斯表 S318S26S10S00 时 S1行全为0 辅助方程 6S2 48 0 36 规则8 根轨迹的起始角 出射角 和终止角 入射角 起始角 出射角 根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 出射角 反向 各零点指向本极点的方向角 各零点指向本极点的方向角 37 根据角条件 各零点指向pa极点的方向角 各零点指向pa极点的方向角 指向正左方 38 例4设系统开环传递函数 试绘制闭环系统大致的根轨迹 解 1 无开环零点 开环极点在实轴上根轨迹 3 0 2 有4条分支趋向无穷远处 渐近线的夹角与交点 39 3 分离点 4 起始角 出射角 40 5 与虚轴的交点运用劳斯判据 由第一列 第四行元素为零 由辅助方程 41 42 规则9 闭环极点之和 闭环极点之积 设控制系统的闭环特征方程可写成 并设它的n个根分别为 根据代数方程根与系数的关系有 43 结论 1 若n m 2闭环极点之和 开环极点之和 常数 2 对于1型以上 包括1型 的系统 闭环极点之积与开环增益值成正比 若n 1 m 对多项式进行降幂排列 有 44 4 4绘制非最小相位系统的根轨迹 最小相位系统 在S右半平面没有开环零点或开环极点的系统 否则为非最小相位系统 非最小相位系统 下一章频率响应法进一步说明 45 1正反馈系统的根轨迹 G s H s 闭环传递函数分母为零称闭环系统特征方程式 得 幅值条件相角条件 差别 46 与相角条件有关的需要修改规则 规则4 实轴上的根轨