专题一第二讲.ppt

专题一集合 常用逻辑用语 函数与导数 第二讲函数 基本初等函数的图象与性质 函数与映射的概念问题 一 函数与映射1 函数 1 函数的概念 函数实质上是从非空数集A到非空数集B的一个特殊 记作 其中x的取值范围A叫做这个函数的 f x 的集合C叫函数的 B与C的关系是 我们将f A C叫做函数的三要素 但要注意 函数定义中A B是两个非空 而映射中两个集合A B是任意的非空集合 映射y f x x A 定义域值域 C B 数集 2 函数的表示方法 函数表示方法有 2 映射 映射A B中两集合的元素的关系是一对一或多对一 但不可一对多 且集合B中元素可以没有对应元素 但A中元素在B中必须有 确定的对应元素 唯一 图象法列表法解析法 函数的性质问题 二 函数的性质1 函数的单调性与最值 1 单调性 对于定义域内某一区间D内任意的x1 x2且x1 x2 或 x x1 x2 0 若f x1 f x2 或 y f x1 f x2 0 恒成立 则f x 在D上 若f x1 f x2 或 y f x1 f x2 0 恒成立 则f x 在D上 单调递增 单调递减 2 最值 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 对任意的x I 都有 且存在 使得 那么称M是函数y f x 的最大值 如果存在实数M满足 对任意x I 都有 且存在 使得 那么称M是函数y f x 的最小值 2 函数的奇偶性 1 定义 对于定义域内的任意x 有 f x f x f x 为 f x f x f x 为 x0 If x0 M f x M x0 If x0 M f x M 奇函数 偶函数 2 性质 函数y f x 是偶函数 y f x 的图象关于 对称 函数y f x 是奇函数 y f x 的图象关于 对称 奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性 且在x 0处有定义时必有f 0 即f x 的图象过 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性 y轴 原点 相同 0 原点 相反 3 周期性 1 定义 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x T 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 性质 如果T是函数y f x 的周期 则 kT k 0 k Z 也是y f x 的周期 若已知区间 m n m n 上的图象 则可画出区间 m kT n kT k Z且k 0 上的图象 f x 函数的图象问题 三 函数的图象1 基本初等函数的图象 基本初等函数包括 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 三角函数 对于这些函数的图象应非常清楚 2 函数图象的画法 1 描点法作图 通过 三个步骤画出函数的图象 列表描点连线 2 图象变换法作图 平移变换 a y f x 的图象向左平移a a 0 个单位长度得到函数 的图象 b y f x b b 0 的图象可由y f x 的图象向 对于左 右平移变换 往往容易出错 在实际判断中可熟记口诀 左加右减 而对于上 下平移变换 相比较则容易掌握 原则是 上加下减 但要注意的是加 减指的是在f x 整体上 y f x a 右平移b个单位长度得到 对称变换 在f x 有意义的前提下 a y f x 与y f x 的图象 对称 b y f x 与y f x 的图象 对称 c y f x 与y f x 的图象 对称 d y f x 的图象可将y f x 的图象在x轴下方的部分 其余部分不变 e y f x 的图象 可先作出y f x 当x 0时的图象 再利用偶函数的图象关于y轴对称 作出 的图象 关于y轴 关于x轴 关于原点 关于x轴旋转180 y f x x 0 伸缩变换 a y Af x A 0 的图象 可将y f x 的图象上所有点的 变为原来的A倍 横坐标不变而得到 b y f ax a 0 的图象 可将y f x 的图象上所有点的 变为原来的倍 不变而得到 横坐标纵坐标 纵坐标 基本初等函数的图象和性质问题 四 指数函数与对数函数的图象和性质 y ax a 0且a 1 y logax a 0且a 1 R 0 0 R 0 1 1 0 单调递减 减函数 单调递增 增函数 0 y 1 y 1 y 0 y 0 y 1 0 y 1 y 0 y 0 1 下列说法中 不正确的是 A 函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应B 函数的定义域和值域一定是无限集合C 定义域和对应关系确定后 函数的值域也就确定了D 若函数的定义域只有一个元素 则值域也只有一个元素 B 2 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 2x 则f 2 解析 由f x 为奇函数知 f x f x 所以f 2 f 2 22 4 选B 答案 B 3 1 2013年山东卷 已知函数f x 为奇函数 且当x 0时 f x x2 则f 1 A 2B 0C 1D 2 2 2012年六校联考 函数y log2的图象 A 关于原点对称B 关于直线y x对称C 关于y轴对称D 关于直线y x对称 解析 1 利用奇函数的性质f x f x 求解 当x 0时 f x x2 f 1 12 2 f x 为奇函数 f 1 f 1 2 2 本题考查对数函数及对称知识 由于定义域为 1 1 关于原点对称 又f x f x 故函数为奇函数 图象关于原点对称 选A 答案 1 A 2 A 解析 f x logax 由f 2 1有loga2 1 得a 2 答案 A 定义在R上的函数f x 满足f x 则f 3 的值为 A 1B 2C 1D 2 突破点1函数与映射的概念问题 解析 由已知得f 1 log25 f 0 log24 2 f 1 f 0 f 1 2 log25 f 2 f 1 f 0 log25 f 3 f 2 f 1 log25 2 log25 2 故选B 答案 B 规律方法 1 函数三要素中最重要的是定义域和对应法则 值域是由定义域和对应法则确定的 在求f f x 类型的值时 应遵循先内后外的原则 而对于分段函数的求值问题 必须依据条件 准确地找出利用哪一段函数求解 2 求函数的解析式是高考命题中的热点 常见命题规律是 先给出一定的条件确定函数的解析式 再研究函数的其他性质 解答的常用方法有待定系数法 定义法 换元法 配凑法 解方程组法 消元法等 跟踪训练 1 2011年福建卷 已知函数f x 若f a f 1 0 则实数a的值等于 A 3B 1C 1D 3 突破点2函数的性质问题 设k R 函数f x F x f x kx x R 试讨论函数F x 的单调性 思路点拨 本题可以分k 0 k 0 k 0三种情况讨论 对于k 0及k 0中x 1 k 0中x 1 可用基本初等函数单调性直接判断 而对于k 0中x 1 k 0中x 1 需用导数法判断 误区警示 本题易漏掉k 0的情况 而使解题不完整 规律方法 1 判断函数的单调性的一般思路 对于选择 填空题若能画出图象一般用数形结合法 而对于由基本初等函数通过加 减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题 对于解析式较复杂的用导数法或定义法 2 对于函数的奇偶性的判断 首先要看函数的定义域是否关于原点对称 其次再看f x 与f x 的关系 3 求函数最值常用的方法有单调性法 图象法 基本不等式法 导数法和换元法 跟踪训练 2 2012年惠州三模 已知f x 是定义在R上的奇函数 且f x 4 f x 当x 0 2 时 f x x 2 则f 7 A 3B 3C 1D 1 解析 因为f x 4 f x 故f x 是周期为4的周期函数 又因为f x 是奇函数故有 f 7 f 1 f 1 3 选A 答案 A 突破点3函数的图象问题 函数y lncosx的图象是 思路点拨 本题可以先判断函数奇偶性 由奇偶函数图象性质 初步作出判断 再利用对数函数性质最终作出判断 解析 f x lncosx f x lncos x lncosx f x f x f x 是偶函数 图象关于y轴对称 又 0 cosx 1 lncosx 0 故选A 答案 A 规律方法 1 熟练掌握基本初等函数的图象和性质 善于利用函数的性质来作图象 要合理运用三种图象变换的技巧 2 在研究函数性质时 注意结合图象 在解有些方程和不等式等问题时 借助图象能起到十分快捷的效果 但要注意 求交点个数或解的个数问题时 作图要十分准确 否则容易错解 跟踪训练 3 2012年济南一模 已知函数f x 则f x 的图象为 A 突破点4基本初等函数的图象和性质问题 已知函数f x 若f x0 2 则x0的取值范围是 思路点拨 本题可以分x0 0 x0 0两种情况讨论 分别得到简单的指数 对数不等式 再根据幂和对数运算性质转化为同底数幂值 对数值比较大小 最后用指数 对数函数单调性求解 规律方法 1 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决此类题目的关键 2 要注意化归和分类讨论的思想在这些题目中的应用 跟踪训练 4 已知函数f x 是奇函数 1 求实数m的值 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 求实数a的取值范围 解析 1 函数f x 是奇函数 f x f x 当x 0时 x 0 有 x 2 mx x2 2x 即x2 mx x2 2x m 2 当x 0时 f x x2 2x x 1 2 1 当x 1 时 f x 单调递减 当x 0 1 时 f x 单调递增 当x 0时 f x x2 2x x 1 2 1 当x 1 时 f x 单调递减 当x 1 0 时 f x 单调递增 综上可知 函数f x 在 1 1 上单调递增 又函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 故实数a的取值范围是 1 3 1 画函数的图象或研究函数的性质时 一定要注意定义域的限制 2 判断函数y f x 的奇偶性时 注意观察函数的定义域是否关于原点对称 同时注意 函数的定义域关于原点对称 与 奇函数的图象关于原点对称 的内涵是不同的 3 函数的图象一般可以