高中数学第二章1双曲线及其标准方程课堂导学案新人教选修.docx

2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.解析：若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a=24,2c=26,a=12,c=13,b2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程为=1.若以线段F1、F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为=1.温馨提示求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点A(1，)，且a=4;(2)经过点A(2，)、B(3，-2).解析：(1)若所求双曲线方程为(a0,b0),则将a=4代入，得=1,又点A(1,)在双曲线上，=1,解得b20,不合题意，舍去.若所求双曲线方程为=1(a0,b0),同上，解得b2=9,双曲线的方程为=1.(2)设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0),点A(2,)、B(3，-2)在双曲线上，所求双曲线的方程为=1.温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0),解出的结果如果是m0,n0,那么焦点在x轴上，如果m0,n0,那么焦点在y轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出a.应加强练习，注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx2+y2=4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.解析：(1)当k=0时，y=2,表示两条与x轴平行的直线.(2)当k=1时，方程为x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.(3)当k0时，方程为=1，表示焦点在y轴上的双曲线.(4)当0k1时，方程为=1，表示焦点在x轴上的椭圆.(5)当k1时，方程为=1，表示焦点在y轴上的椭圆.温馨提示本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k讨论时首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x轴和y轴的情况.各个击破类题演练1已知点F1(-，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|-|PF1|=2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D.2解析：由题意知，P点的轨迹是双曲线的左支，c=,a=1,b=1,双曲线的方程为x2-y2=1.把y=代入双曲线方程，得x2=1+=,|OP|2=x2+y2=|OP|=答案：A变式提升1在MNG中，已知NG=4.当动点M满足条件sinG-sinN=sinM时，求动点M的轨迹方程.解析：如右图所示，以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.sinG-sinN=sinM由正弦定理，得|MN|-|MG|=4由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)2c=4,2a=2,c=2,a=1,b2=c2-a2=3.动点M的轨迹方程为x2-=1(x0，且y0)类题演练2双曲线=1(a0,b0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.解：将x=6代入双曲线方程，得=1.则y=,设一个交点P的坐标为(6，),则由题意，得解之得a=5,b2=故所求的双曲线方程为变式提升2在面积为1的PMN中，tanPMN=,tanMNP=2,建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程.解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设P(x0,y0)、M(-c,0)、N(c,0)(y00,c0),如图.则解得将点P()代入，可得a2=.所求双曲线方程为=1(y0).类题演练3已知F1(-8，3)，F2(2，3)，动点P适合|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，P点的轨迹为()A.双曲线和一直线B.双曲线和一射线C.双曲线一支和一直线D.双曲线一支和一射线解析：当a=3时，2a=6|F1F2|=10，点P的轨迹是双曲线的右支.当a=5时，2a=10=|F1F2|,点P的轨迹是以F2为