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26 3实践与探索 第26章二次函数 第2课时二次函数与一元二次方程 不等式 的关系 褚邱初中 郭亚茹 学习目标 1 通过探索 理解二次函数与一元二次方程 不等式 之间的联系 难点 2 能运用二次函数及其图象 性质确定方程的解或不等式的解集 重点 导入新课 情境引入 问题如图 以40m s的速度将小球沿与地面成30 角的方向击出时 球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气的阻力 球的飞行高度h 单位 m 与飞行时间t 单位 s 之间具有关系 h 20t 5t2 考虑以下问题 讲授新课 1 球的飞行高度能否达到15m 如果能 需要多少飞行时间 15 1 3 当球飞行1s或3s时 它的高度为15m 解 解方程15 20t 5t2 t2 4t 3 0 t1 1 t2 3 你能结合上图 指出为什么在两个时间求的高度为15m吗 h 20t 5t2 2 球的飞行高度能否达到20m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m 20 4 解方程 20 20t 5t2 t2 4t 4 0 t1 t2 2 当球飞行2秒时 它的高度为20米 h 20t 5t2 3 球的飞行高度能否达到20 5m 如果能 需要多少飞行时间 你能结合图形指出为什么球不能达到20 5m的高度 20 5 解方程 20 5 20t 5t2 t2 4t 4 1 0 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程无解 即球的飞行高度达不到20 5米 h 20t 5t2 4 球从飞出到落地要用多少时间 0 20t 5t2 t2 4t 0 t1 0 t2 4 当球飞行0秒和4秒时 它的高度为0米 即0秒时球地面飞出 4秒时球落回地面 h 20t 5t2 从上面发现 二次函数y ax2 bx c何时为一元二次方程 一般地 当y取定值且a 0时 二次函数为一元二次方程 如 y 5时 则5 ax2 bx c就是一个一元二次方程 c为一个常数 定值 所以二次函数与一元二次方程关系密切 例如 已知二次函数y x2 4x的值为3 求自变量x的值 可以解一元二次方程 x2 4x 3 即x2 4x 3 0 反过来 解方程x2 4x 3 0又可以看作已知二次函数y x2 4x 3的值为0 求自变量x的值 思考观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时 函数的值是多少 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗 1 y x2 x 2 2 y x2 6x 9 3 y x2 x 1 观察图象 完成下表 0个 1个 2个 x2 x 1 0无解 0 x2 6x 9 0 x1 x2 3 2 1 x2 x 2 0 x1 2 x2 1 知识要点 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0根的关系 例1 已知关于x的二次函数y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求证 此抛物线与x轴总有两个交点 2 若此抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 求正整数m的值 1 证明 m 0 m 2 2 4m 2 m2 4m 4 8m m 2 2 m 2 2 0 0 此抛物线与x轴总有两个交点 2 解 令y 0 则 x 1 mx 2 0 所以x 1 0或mx 2 0 解得x1 1 x2 当m为正整数1或2时 x2为整数 即抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1或2 例1 已知关于x的二次函数y mx2 m 2 x 2 m 0 1 求证 此抛物线与x轴总有两个交点 2 若此抛物线与x轴总有两个交点 且它们的横坐标都是整数 求正整数m的值 一元二次方程ax2 bx c m的根就是二次函数y ax2 bx c与直线y m m是实数 图象交点的横坐标 既可以用求根公式求二次方程的根 也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根 问题1函数y ax2 bx c的图象如图 那么方程ax2 bx c 0的根是 不等式ax2 bx c 0的解集是 不等式ax2 bx c 0的解集是 y x1 1 x2 3 x3 1 x 3 合作探究 拓广探索 函数y ax2 bx c的图象如图 那么方程ax2 bx c 2的根是 不等式ax2 bx c 2的解集是 不等式ax2 bx c 2的解集是 3 1 O x 2 4 2 2 2 x1 2 x2 4 x4 2 x 4 y 问题2 如果不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集是x 2的一切实数 那么函数y ax2 bx c的图象与x轴有 个交点 坐标是 方程ax2 bx c 0的根是 1 2 0 x 2 2 O x 问题3 如果方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 那么函数y ax2 bx c的图象与x轴有 个交点 不等式ax2 bx c 0的解集是多少 0 解 1 当a 0时 ax2 bx c 0无解 2 当a 0时 ax2 bx c 0的解集是一切实数 3 1 O x 试一试 利用函数图象解下列方程和不等式 1 x2 x 2 0 x2 x 2 0 x2 x 20 x2 4x 40 x2 x 2 0 x1 1 x2 2 1 x 2 x1 1 x2 2 x2 4x 4 0 x 2 x 2的一切实数 x无解 x2 x 2 0 x无解 x无解 x为全体实数 知识要点 有两个交点x1 x2 x1 x2 有一个交点x0 没有交点 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y 0 x1 x x2 y 0 x2 x或x x2 y 0 x1 x x2 y 0 x2 x或x x2 y 0 x0之外的所有实数 y 0 无解 y 0 x0之外的所有实数 y 0 无解 y 0 所有实数 y 0 无解 y 0 所有实数 y 0 无解 2 若二次函数y x2 2x k的部分图象如图所示 且关于x的一元二次方程 x2 2x k 0的一个解x1 3 则另一个解x2 1 3 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 2 0 0 5 已知函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 求k的取值范围 解 当k 3时 函数y 2x 1是一次函数 一次函数y 2x 1与x轴有一个交点 k 3 当k 3时 y k 3 x2 2x 1是二次函数 二次函数y k 3 x2 2x 1的图象与x轴有交点 b2 4ac 0 b2 4ac 22 4 k 3 4k 16 4k 16 0 k 4且k 3 综上所述 k的取值范围是k 4 能力提升 已知二次函数的图象 利用图象回