学案12 导数的应用.ppt

学案12导数的应用 1 以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性 求单调区间 求极值与最值 2 以实际问题为背景 考查利用导数解决生活中的优化问题 3 以解答题的形式考查导数与解析几何 不等式 平面向量等知识相结合的问题 1 函数的单调性在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 f x 0 f x 为 f x 0 f x 为 减函数 增函数 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程的根 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 考察在每个根x0附近 从左到右导函数f x 的符号如何变化 如果左正右负 那么f x 在x0处取得 如果左负右正 那么f x 在x0处取得 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 极小值 极大值 f a f b f a f b 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 考点1函数的单调性与导数 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域R内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在R上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在R内单调递增 f x 0在R上恒成立 ex a 0 即a ex在R上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 分析 1 通过解f x 0求单调递增区间 2 转化为恒成立问题求a 3 假设存在a 则x 0为极小值点 或利用恒成立问题 3 解法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 解法二 由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 评析 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 已知函数f x x3 ax2 x 1 a R 1 讨论函数f x 的单调区间 2 设函数f x 在区间 内是减函数 求a的取值范围 解析 1 f x x3 ax2 x 1 f x 3x2 2ax 1 当 2a 2 3 4 4a2 12 0 即 a 时 f x 0恒成立 此时f x 为单调递增函数 单调区间为 当 2a 2 3 4 4a2 12 0 即a 或a 函数f x 存在零解 此时当x 时 f x 0 当x 时 f x 0 函数f x 单调递增 当 x 时 f x 0 函数f x 单调递减 此时函数的单调区间为若a 或a 则 为单调递增区间 为单调递减区间 2 若函数在区间 内是减函数 则说明f x 3x2 2ax 1 0两根在区间 外 因此f 0 且f 0 由此可以解得a 2 因此a的取值范围是 2 考点2函数的极值与导数 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 分析 求出f x 利用f x 0 f x 0 求出单调区间 再求极值 解析 1 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的区间是 ln2 区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 评析 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和证明函数不等式 考查运算能力 综合分析和解决问题的能力 设函数f x x x a 2 x R 其中a R 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 当a 0时 求函数f x 的极大值和极小值 1 当a 1时 f x x x 1 2 x3 2x2 x f 2 2 f x 3x2 4x 1 f 2 12 8 1 5 当a 1时 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为5x y 8 0 2 f x x x a 2 x3 2ax2 a2x f x 3x2 4ax a2 3x a x a 令f x 0 解得x 或x a 由于a 0 以下分两种情况讨论 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 函数f x 在x 处取得极小值f 且f 函数f x 在x a处取得极大值f a 且f a 0 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 函数f x 在x a处取得极小值f a 且f a 0 函数f x 在x 处取得极大值f 且f 已知a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 单调递减 当x 0时 有最大值f 0 0 若a 0 则令f x 0 解得x x 0 1 则只考虑x 的情况 如下表所示 解析 考点3函数的最值与导数 分析 考查导数法求函数的最值 1 0 1 即0 a 1 当x 时 f x 有最大值f 2a 2 1 即a 1 当x 1时 f x 有最大值f 1 3a 1 综上 当a 0 x 0时 f x 有最大值0 当0 a 1 x 时 f x 有最大值2a 当a 1 x 1时 f x 有最大值3a 1 评析 本题利用导数法求函数的极值 再求最值 函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值是 最小值是 解析 考点4最优化问题 一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比 已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 问此轮船以多大速度航行时 能使行驶每公里的费用总和最小 分析 由题意构造函数 利用导数求最值 解析 设船的速度为x x 0 公里 小时 时 燃料费用为Q元 则Q kx3 由6 k 103可得k Q x3 总费用y x3 96 x2 y x 令y 0得x 20 当x 0 20 时 y 0 此时函数单调递减 当x 20 时 y 0 此时函数单调递增 当x 20时 y取得最小值 此轮船以20公里 小时的速度行驶时每公里的费用总和最小 评析 1 用导数解应用题求最值的一般方法是 求导 令导数等于零 求y 0的根 求出极值点 最后写出解答 2 在有关极值应用的问题中 绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f x 0 且在两侧f x 的符号各异 一般称为单峰问题 此时该点就是极值点 也是最值点 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A 13万件B 11万件C 9万件D 7万件 解析 1 当求出函数的单调区间 如单调增区间 有多个时 不能把这些区间取并集 2 可导函数的极值点必须是导数为零的点 但导数为零的点不一定是极值点 如f x x3在x 0处导数f