南京航空航天大学《高等数学》115函数的幂级数展开式的应用.pdf

求数项级数的和求数项级数的和 计算定积分计算定积分 近似计算近似计算 21 n aaaA 21n aaaA 21 nnn aar误差误差 两类问题 两类问题 1 给定项数给定项数 求近似值并估计精度求近似值并估计精度 2 给出精度给出精度 确定项数确定项数 关健 关健 通过估计余项通过估计余项 确定精度或项数确定精度或项数 一 近似计算一 近似计算 常用方法常用方法 1 若余项是交错级数若余项是交错级数 则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决 2 若不是交错级数若不是交错级数 则放大余和中的各项则放大余和中的各项 使之成 为等比级数或其它易求和的级数 使之成 为等比级数或其它易求和的级数 从而求出其和从而求出其和 例1例1 10 5 使其误差不超过的近似值计算使其误差不超过的近似值计算e 解解 1 2 1 1 2 nx x n xxe 1 x令令 1 2 1 11 n e 得得 余和余和 2 1 1 1 nn rn 2 1 1 1 1 nn 1 1 1 1 1 1 1 2 nnn 1 nn 10 5 n r欲使欲使 10 1 5 nn 只要只要 10 5 nn即即 10322560 88 5 而而 8 1 3 1 2 1 11 e 71828 2 例2例2 9sin 3 sin 0 3 并估计误差 的近似值计算利用 并估计误差 的近似值计算利用 x xx 解解 20 sin9sin 0 20 6 1 20 3 5 2 20 5 1 r 5 2 0 120 1 300000 1 10 5 000646 0157079 09sin 0 156433 0 其误差不超过其误差不超过 5 10 ln 1 sin 2 难以计算其定积分函数表示 原函数不能用初等例如函数 难以计算其定积分函数表示 原函数不能用初等例如函数 xx x e x 解法解法 逐项积分逐项积分 逐项积分逐项积分 展开成幂级数展开成幂级数 展开成幂级数展开成幂级数 定积分的近似值定积分的近似值 定积分的近似值定积分的近似值 被积函数被积函数 被积函数被积函数 二 计算定积分二 计算定积分 第四项第四项 3000 1 77 1 10 4 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值 得得 55 1 33 1 1 sin 1 0 dx x x 9461 0 例3例3 10 sin 4 1 0 精确到的近似值计算精确到的近似值计算dx x x 642 7 1 5 1 3 1 1 sin xxx x x 解解 x 77 1 55 1 33 1 1 sin 1 0 dx x x 收敛的交错级数收敛的交错级数 三 求数项级数的和三 求数项级数的和 阿贝尔法 构造幂级数法 阿贝尔法 构造幂级数法 lim 0 1 0 n n n x n n xaa 0 n n n xaxs 求得 求得 lim 1 0 xsa x n n 逐项积分 逐项求导逐项积分 逐项求导 例4例4 2 1 2 的和求的和求 n n n n 解解 1 2 n n x n n xs 令 令 n n x n nnn xs 1 1 n n n n x n x n nn 11 1 1 1 01 2 n n n n n x x n x x xx xeex 1 2 1 xxe x 1 2 2 n n n n 2 1 s 2 1 1 2 1 2 1 e 4 3 e P318 9 2 小结小结 近似计算 近似计算 求不可积类函数的定积分 求 数项级数的和 求不可积类函数的定积分 求 数项级数的和 微分方程的幂级数的解法 微分方程的幂级数的解法 第十二节介绍第十二节介绍 思考题思考题 利用幂级数展开式利用幂级数展开式 求极限求极限 sin arcsin lim 3 0 x xx x 思考题解答思考题解答 542 31 32 1 arcsin 53 xx xx 5 33 3 33 4 1 sin 5 5 3 3 3 xxx 1 x x sin arcsin lim 3 0 x xx x 将上两式代入将上两式代入 5