高中数学第一章1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理例题与探究.docx

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理典题精讲【例1】 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？思路分析：欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法，或从第一个口袋取或从第二个口袋取，都能完成这件事，所以题（1）可用分类加法计数原理来解；欲完成从两个口袋内各取一个小球这件事，需分两个步骤，第一步从第一个口袋内任取1个小球，第二步从第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就解决了，因此题（2）可用分步乘法计数原理来解.解：（1）从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法.根据分类加法计数原理，得到不同的取法种数是N=m1+m2=5+4=9.所以从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法.（2）从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步是从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法；第二步是从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法.根据分步乘法计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1m2=54=20.所以从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法.绿色通道：在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需分成n个步骤,而判断“分步”还是“分类”，主要是看作一次能否完成整个事件，这是问题的实质所在.应用分类加法计数原理必须要求各类的每一种方法都能完成这件事.应用分步乘法计数原理则需要各步均是完成这件事必须经过的若干彼此相关联的步骤.变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子，3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学，有多少种不同的穿法?思路解析：此题在于完成穿衣这一件事：需分4个步骤：穿上衣、裙子、丝袜和鞋子才能完成整件事，其中各个步骤互不干扰又不可或缺.根据分步乘法计数原理，得到不同的穿法的种数为4533=180.答案:180.变式训练2 有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？思路解析:先用分步乘法计数原理，后用分类加法计数原理.选中文、英文书各一本有75=35种选法，选中文、法文书各一本有73=21种选法，选英文、法文书各一本有53=15种选法，所以总共有35+21+15=71种不同的选法.答案：71.【例2】 有四位同学参加三项不同的竞赛.(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？思路解析：（1）学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会.要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步.而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理.（2）竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同学生中的一个.要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理.解：（1）3333=34=81种.（2）444=43=64种.黑色陷阱：解答此题，先考虑学生问题还是竞赛问题才能很好地完成这件事，易把两问结果混淆；另外,每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生这一做法对完成整个事件的影响理解错误导致原理弄错，其原因是对题意理解不清，对事情完成的方式有错误的认识.变式训练1 火车上有十名乘客，沿途有五个车站，乘客下车的可能方式有多少种？思路解析：本题应以“乘客”来考虑：十名乘客下车可看作十步，每人下车有5种方式，十名乘客不同下车方式有510种.答案:510种.变式训练2 有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,有几种不同倒法?思路解析:由于5只不同的量杯都要倒进一种溶液（溶液足够多），量杯不能空置，故以“量杯”来考虑：5只不同的量杯各倒进一种溶液可看作5步，每个量杯都有4种溶液可供选择，由此可得倒法数为45=1 024.答案：1 024种.【例3】 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？思路分析：方法一：排出所有的分配方案.甲取得乙卡，分配方案如下表：此时乙有甲、丙、丁3种取法，若乙取甲，则丙取丁、丁取丙，故有3种分配方案；（2）甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由加法原理，共有3+3+3=9种.方法二：排除法.先求4个人各取1张贺卡的总方法，再去掉不合题意的取法.不合题意的取法包括：有3个人都取自己写的贺卡；有2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写的贺卡；有1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写的贺卡.方法三：分步法.第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；第四步，最后1个人取，只有1种取法.由乘法原理，共有3311=9种.解法一：根据分析，由加法原理，共有3+3+3=9种.解法二：4个人各取1张贺卡.甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法.由乘法原理，4个人各取1张贺卡共有4321=24种.3个人都取自己写的贺卡只有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己写的贺卡方法有6种（即从4个人中选出取自己所写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写的贺卡方法有8种.（从4个人中选出自己写的贺卡的1个人有4种方法，而3个人都不取自己写的贺卡的方法有2种方法，如下表）因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有24-（1+6+8）=9种.解法三：根据分析，由乘法原理，共有3311=9种.黑色陷阱：（1）方法二中容易多减一项4个人都取自己所写贺卡的取法，原因在于4个人都取自己所写贺卡与3个人都取自己所写贺卡是同一种情况.（2）方法一与方法三中若甲先取乙卡，第二步由乙取，有3种取法，若由丙、丁中1人先取，就会误入歧途，很难断定有两种还是3种取法.变式训练1 甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，各取1张，其中甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？思路解析：分类法：第一类，丁取自己所写的贺卡，则甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡只有2种方法.（分配如下表）第二类，丁不取自己所写的贺卡，有3种方法，甲、乙、丙不能取自己所写的贺卡只有3种方法，这时由乘法原理可得9种方法.（此时就是例3的情形）综合上述两类，有加法原理可得共有2+33=11种.答案：11.变式训练2 设有编号，的5个球和编号为1，2，3，4，5的5个盒子，现将这5个球投入这5个盒子内，要求每个盒子内投入一个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为多少？思路解析：由题意知需保证只有2个球的编号与盒子的编号相同，另外3个球的编号与盒子的编号全不相同，这样先在5个球中任选2个球投放到恰好编号相同的盒子内，有10种选法（；）；剩下3个球不能投放到与之编号相同的盒子内只有2种方法.（不失一般性，不妨设它们的编号为、分配如下）故共有投放方法为102=20种.答案：20.问题探究问题1：随着人民生活水平的提高，“家庭理财”已经成为普通家庭一个关注的问题.李明大学毕业参加工作后，从每月工资中节余一笔钱，他打算从人民币定期储蓄和购买国债两种方式中选择一种来投资.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可从一年期、二年期和三年期三种中选择一种.问：李明一共有多少种不同的理财方式？导思：李明共有两类不同形式的选择：第一类，从一年期和二年期两种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种投资方法.以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此，李明的不同选择共有2+35种.探究：分类是指做一件事，完成它可以有几类方案，这是对完成这件事的所有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分属于不同类的方法是不同的方法.问题2：由于李明工资水平逐步提高，他决定把节余的钱分成两笔，其中一笔存入人民币定期储蓄，另一笔用来购买国债，定期储蓄和国债的种类与问题1相同，问：李明共有多少种不同的理财方式？导思：李明要完成定期储蓄和国债这两项投资，理财目标才算完成，所以可以分两步来做.第一步，将一笔钱存入人民币定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方法；第二步，用另一笔钱购买国债，从一年期、二年期和三年期中选择一种理财方法.对于第一步中的两种储蓄方法中的每一种方法，在第二步中都有不同的购买国债的选择，当这两