概率思想在数学证明和计算中的应用.pdf

第3 7 卷第1 3 期数学的实践与认识 v 0 1 3 7N o 1 3 2 0 0 7 年7 月M A T H E M A T I C SI NP R A C T I C EA N DT H E o R Y i 教学园地 k t t l 概率思想在数学证明和计算中的应用 卓泽强 北京石油化工学院数理系 北京1 0 2 6 1 7 摘要 通过多个典型寅例i 兑明了古典概型 概率密度函数 分布函数 c a u c h ys c h 州z 不等式 c h e b e B h e v 不等 式 数字特征等在数学证明和计搏巾枘应用 提出了班概串沦教学巾对概黜想在数学证明和计算中的应用应加以介绍 关键词 概率思想 随机变景 概率密度两数 文献 1 2 讨论了如何利用r 函数及广义积分等数学方法来解决概率论中的问题 其 实 同样可以利用概率方法来解决数学中的一些问题 并且比较简便 本文通过一些典型的 例子说明了古典概型 概率密度函数 分布函数 c a u c h y s c h w a r z 不等式 c l l c b c s h e v 不等 式 数字特征等在数学证明和计算中的应用 这种利刚概率思想来证明和计算数学问题的方 法在平时的教学中应加以介绍 1 古典概型在排列组合恒等式证明中的应用 例l证明 v 恒有奎E 2 d 了1 q 州 其中 尘 祥的整数部分 证明将等式变形为 费雩望乩 例c 该式左端各项的分母相应的概率模型为从孙 1 个对象中任取n 个 由分子的特点知 孙 1 个对象中有两两相同的 据此构造如下模型 现有2 1 个人 其中有 对夫妻和一个单身汉 他们代表一 1 的不同家庭 现从中 任取 个人组成一个兴趣小组 记 4 取出 个人中 有 家没有全家参加 女 O 没有全家参加 是指 每个家庭中有且只有1 人参加 单身汉1 人参加即为全家参加 这样 A A 1 A 构成样本空间的一个划分 且 r 1 9 r 阿 尸 一 瓮斗 女 o 1 由不相容事件概率性质知 P A o 十尸 A 尸 A 一l 等式得证 注r 本例来源于1 9 9 4 年中国数学奥林匹克竞赛试题 利用排列组合的性质可以证明 但较为复杂 利用古典概型证明较为简洁 更多的例子可参见 3 收稿日期一2 0 0 5 一l z z 9 万方数据 万方数据 1 3 期卓泽强 概率思想在数学证明和计算中的应用 1 9 1 圣 广 三 一 出 R J 一曲 Z F f e 一缸 瓶 去e 一乱 蚴卜鲫 专 z 卜 生寺f 4 e g 一孚r 去e 一 一 弘c t 仃 一垂 o 华 注4 本题直接用高等数学的方法很难得到结果 而用标准正态分布函数的性质圣 1 z 3 9 垂 o O 5 可以简化计算 3 概率思想在不等式证明中的应用 3 1 利用关千随机变量的c a u c h y s c h w z 不等式 s 证明 例5 设函数 o g z 为区间 6 上的可积函数 则 f 厂c z g c z a z 2 f 户c z a z f 9 2 c z a z 证明设连续型 n x 的概率密度函数为 州一 寺 纛 y x y 2 g x 为r V x 的函数 则 E y 以 吉 z g 划z E 士p 蒯z E y y 5 吉J z g 划2 E 2 5 南J Y 神妇5 E 明 志J 旷 z 8 由c a u c h y S c h w a r z 不等式可知 f c z g z a z 2 f 尸 z d z 9 2 z d z J 3 2 利用切比雪夫 c h e b e s h e v 不等式证明 例6设H vE o 证明 茧1 碟 1 一p 一一 型掣 1 例6 设H VE o 证明 碟矿 1 一p 一十 2 j r 2 l 证明将不等式变形为 譬1 c 以l 一 一 1 一生芝掣 c 1 一户 1 一型旦丁型 这与概率论中的切比雪夫 c h e b e s h e v 不等式有点类似 放下面利用它来证明 设随机变量 x 6 n p 则E x 辞一p D x 一n p 1 一p 由切比雪夫不等式尸 I x E x I 1 一挈得 P n 声一 x n p s 差 e 矿 1 一户 一 1 一型掣 P n p 一 x n p s e 矿 1 一户 一 1 3 2 2 i 丁土二 所蛆警3 e 1 一户 扩 型掣薹 万方数据 万方数据 概率思想在数学证明和计算中的应用概率思想在数学证明和计算中的应用 作者 卓泽强 ZHUO Ze qiang 作者单位 北京石油化工学院数理系 北京 102617 刊名 数学的实践与认识 英文刊名 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 年 卷 期 2007 37 13 被引用次数 0次 参考文献 5条 参考文献 5条 1 徐传胜 傅尊伟 概率问题中的某些积分技巧 期刊论文 高等数学研究 2004 04 2 程龙生 函数及一类广义积分公式在概率统计中的应用 期刊论文 南京理工大学学报 2003 zk 3 侯为波 卓泽强 古典概型在排列组合恒等式证明中的应用 1996 04 4 同济大学应用数学系 高等数学 2004 5 盛骤 谢式千 概率论与数理统计 2005 相似文献 4条 相似文献 4条 1 学位论文 扈罗全 基于随机射线的无线信道传播特性研究 2007 针对无线电波在传播环境中存在复杂的随机特点 使用随机分析方法和渗流理论 以随机非波动的观点对无线电波传播进行研究 本文发展并完善 了随机射线方法 使用该方法对无线传播信道中的诸多问题展开研究 主要内容包括 1 介绍随机射线的概念 发展并完善随机射线方法的理论体系 使得可以使用随机射线方法来研究无线电波的多径传播特性 把无线信道的物理传 播环境建模为随机网格信道 应用位置渗流模型得到随机网格信道 后者成为随机射线概念产生和应用的物理基础 通过对无线信道中电波传播特点的 分析 发展并完善了随机桥过程的概念 把它引入到无线信道研究领域 提出由随机桥过程样本构造的基本随机变量这一新概念 分别对布朗桥过程和 Langevin桥过程产生的随机样本及其构造的基本随机变量的统计特性进行了研究 2 使用最大熵原理得到发生k次反射的随机射线在二维传播环境的概率分布 通过严格的数学计算得到了在Manhattan距离和Euclid距离度量下 二 维和三维空间连续情形下随机射线的概率密度函数 以及Manhattan距离的度量下离散情形的概率质量函数的解析表达式 根据无线电波传播的传播特性 把无线电波传播过程当做粒子扩散过程 建立了无线电波传播的概率模型 3 使用随机射线方法研究和分析脉冲无线信道的传播特性 介绍了随机桥过程建模脉冲无线信道的基本原理 并在无线信道的几何随机模型基础上 提出超宽带 UWB 室内多径信道的几何随机多反射模型 使用随机射线方法蕴含的概率思想 对UWB信道的成簇特性作出概率解释 结合脉冲无线信道的 测量数据 对超宽带无线信道多径传播特性进行分析 使用最优化方法结合随机射线理论分析了UWB脉冲无线信道 4 使用随机桥过程样本构造的基本随机变量建模无线信道的一些特征参量 描述信道的空时传播特性 在一定的仿真条件下 使用布朗桥过程产生 的样本建模无线信道中的多径传播轨迹 分别对散射体均匀分布的传播环境 以及有约束传播环境无线信道的空时特性进行分析 5 使用随机射线研究和分析研究二维短程无线信道的传播特性 使用随机桥过程产生基本随机变量 以自由布朗桥过程和自由Langevin桥过程为例 对其统计特性进行理论分析 发现基本随机变量服从Rayleigh分布或者x分布随机变量之和的分布 对一个障碍物完全随机分布的二维传播环境的信道特 性使用随机射线方法进行仿真分析 得到无线信道的一些特征参量的统计规律 验证了随机一射线方法研究无线电波多径传播特性的有效性 6 使用随机射线在传播空间的概率分布 研究和分析随机网格信道中的平均接收功率和路径传播损耗 研究了二维情形下无线电波无耗传播和有耗 传播的概率模型 着重分析二维有耗传播情形下平均接收功率的概率计算方法及其应用 通过求解随机网格信道中一般随机射线和随机游动随机射线两 种情形下平均接收功率的解析表达式 得到二维传播环境中的路径损耗模型 同时给出一般随机射线平均接收功率的界 对随机网格信道路径损耗模型 与传统模型进行比较 发现随机网格信道中路径损耗是距离幂函数的指数函数 其函数曲线与传统的多断点路径损耗模型相类似 2 期刊论文 徐传胜 张士勤 刘建宇 XU Chuan sheng ZHANG Shi qin LIU Jian yu 托马斯 贝叶斯的逆概率思想 研究 西北大学学报 自然科学版 2009 39 2 目的 系统探讨和分析贝叶斯的概率思想 方法 历史分析和文献考证 结果 作为贝叶斯学派的创立者 贝叶斯首先提出逆概率思想 将归纳推理法用于 概率论理论 创立了贝叶斯统计理论 结论 贝叶斯的逆概率思想奠定了概率论的基础 对统计决策函数 统计推断 统计估算等做出了贡献 3 期刊论文 黄旭玲 构造概率模型巧妙解决数学问题 玉林师范学院学报2004 25 3 举例说明如何构造概率模型解决代数 分析中的一些问题 进一步阐述概率思想应用的广泛性 4 学位论文 郝广波 管道类连续系统单元化可靠性建模理论研究 2007 传统上认为 一个零件的强度 可以是广义强度 是确定的 但从可靠性的角度 零件的强度应该用随机变量表达 尤其是对于一个像管道 钢缆等 这样一维长度很大的物体来说 由于有Weibull尺寸效应的存在 强度是一个与其长度有关的随机变量 因此对这样的物体 可以作为一个 连续系统 对待 进行可靠性建模时 需要考虑尺寸效应的影响 同时 这样的系统不是由一个个边界分明的零件组成的 但因其本身尺度庞大或结构复杂 显然 在可靠性分析中不能将其作为一个元件对待 而应作为一个串联系统进行分析 因此 需要将管道类连续系统离散化成单元 直接应用系统可靠性模型 评价管道等连续系统的失效概率 尤其重要的是 将这样的物体作为一个串联系统进行可靠性分析时 其各部分 管段 绳段 的失效有明显的相关性 传统的串联系统可靠性模型不再适用 本文在总结已有的研究成果的基础上 总结了目前尺寸效应研究的三种理论 重点分析了Weibull尺寸效应 应用最小次序统计量模型推导出一维管 道类连续系统的Weibull尺寸效应 分析了尺寸效应对连续系统强度的影响 同时分析了串联系统共因失效可靠性模型的两种建立方法 基于零件条件失 效概率思想的串联系统可靠性建模和基于最小次序统计量思想的串联系统可靠性建模 系统的思想 重点研究了影响管道类连续系统材料强度分散性的 两种因素 材料的不均匀性和材料质量的不稳定性 建立了反映尺寸效应和共