2017_18学年高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱锥台和球的体积学案.docx

1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目标1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.知识链接1.长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S2(abbcac)，体积Vabc.2.棱长为a的正方体的表面积S6a2，体积Va3.3.底面半径为r，母线长为l的圆柱侧面积S侧2rl，表面积S2rl2r2.4.底面半径为r，母线长为l的圆锥侧面积S侧rl，表面积Sr2rl.预习导引1.祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.2.柱、锥、台、球的体积其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱r2h锥体棱锥Sh圆锥r2h台体棱台h(SS)圆台h(r2rrr2)球R3要点一柱体的体积例1某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.82 B.8C.8 D.8答案B解析这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V2312228.规律方法1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪演练1一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案4解析此几何体是两个长方体的组合，故V2111124.要点二锥体的体积例2如图三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比.解设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h(S4S2S)Sh，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，体积比为124.规律方法三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.跟踪演练2如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1ABD中，由题意知AA1为三棱锥的高，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VA1ABDVAA1BD，a2aaad.da.要点三台体的体积例3已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.解如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形，由S侧4(1020)E1E780，得EE113.在直角梯形EOO1E1中，O1E1A1B15，OEAB10，O1O12，V正四棱台12(1022021020)2 800(cm3).故正四棱台的体积为2 800 cm3.规律方法求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.跟踪演练3本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积.”解如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1cm，OB2cm，过点B1作B1MOB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在RtBMB1中，BB12 cm，MB(2)(cm).根据勾股定理MB1(cm).S上224(cm2)，S下4216(cm2)，V正四棱台(416)28 (cm3).要点四球的体积例4过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和表面积.解如图，设过A、B、C三点的截面为圆O，连接OO、AO、AO.ABBCCA3 cm，O为正三角形ABC的中心，AOAB(cm).设OAR，则OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR(cm)，R2 cm，V球R3(cm3)，S球4R216(cm2).即球的体积为 cm3，表面积为16 cm2.规律方法球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.跟踪演练4如果三个球的半径之比是123，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的()A.1倍 B.2倍C.3倍 D.4倍答案C解析半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为(3x)3，其余两个球的体积之和为x3(2x)3，(3x)33.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线的长是2，则这个长方体的体积是()A.6 B.12C.24 D.48答案D解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2(2x)2(3x)2(2)2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6.V长方体24648.2.一个球的表面积是16，则它的体积是()A.64 B.C.32 D.答案D解析设球的半径为R，则由题意可知4R216，故R2.所以球的半径为2，体积VR3.3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A. B.2C.4 D.8答案B解析设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧2r2r4r24，所以r1，所以V圆柱r22r2r32.4.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是()A. B.C. D.1答案A解析三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDCD1D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_.答案1616解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为1616.1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为