概率思想在高等数学计算中的应用研究(1).pdf

圆黼 概率思想在高等数学计算中的应用研究 卓泽强魏文玲李小龙 北京石油化工学院数理系北京 10 2 6 17 科技教育 摘要 通过对概丰思想在高等支学计算中的应用研完 表明不仅高等羹学的知识是概卒论学习的基肚 而且反过来 概牛思想也能够促 进高等数学计算的学习 关键词 概牟高等芰学计算 中圈分类号z G 6 4文献标识码l A文章编号 1 7 2 3 7 9 I Z O Io o T b 0 1 9 6 0 2 高等数学中的计算问题 利用纯的高等数学计算方法是很难 把问题处理 有时候即使能够计算出结果 步骤也很繁琐 但是如 果应用慨率思想反而使复杂的问题变得相对简单 同时在教学中 适时渗透和研究概率思想在高等数学中的应用方法 对增强学生 学习兴趣 提高思维品质 指导学生有效学习都具有积极意义 下 面本文对概率思想在高等数学计算中的几方面独到的应用进行了 初步研究 1 概率分布是 概率论垆l 中比较基础的概念 利用某些概率分 布的特殊性质来求解一些高等数学中的化简问题 即把某些大于O J 于l 的数字构造成某事件发生的概率 然后 根据慨率分布的特殊性质来解决问题 下文的例3 采用的就是该方 法 当然也可以利用泊松分布的一些性质 中心极限定理 和级数 的收敛性来计算一些复杂的极限问题 下面的例l 例2 就是采用该 方法 通过这些方法处理后 计算的难度明显降低了 准确度得到 了大幅提高 这样做的目的是将概率思想应用到高等数学的计算 过程中 揭示出高等数学与概率论的紧密关系 从而提高学生在 概率论与数理统计 课堂教学中的学习兴趣 例1 设 I 鲁 等 竺k 1 求解l i I n L lP l J一 解 构造概率模型 设僖 i l 2 3 为相互独立同分布的随机变量序列 都服从参数为名 哟泊松分布 则F 幺服从参数为名 的泊松分布 即 百 厂n H I P l s 甩l P 七 三产 e 告e 1 i I k 0I Ik 0Mk IM 又因为 E D l 由独立同分布的中心极限定理有 鲤攻喜 s 刁 熙 如 i 1 于是船 墼否n 酉F te 1 熙 P 喜 s 一e 熙礁细 也儿扣 三 例2 3 1 求极限l i m 二 疗 解 设驯 5 的淞黼 即 附 一 鲁一 月 薹盖一 1 即 7 e 5 由级数收敛的必要性可知 l i m 之 0 葛刀 一疗 1 1 1 3 计算 c 量 O b 畎 设冀不均匀硬币 恢 曩币每次出现正面黼为P a 6 用x 表示抛这种曩币 次中正面出现的次数 脚 P X I l c e l 一 量 0 1 根囊分希锌的性厦知 静x 叫 毫c 砸叫 毫c 击 南 l I 所以 c b 一聪 19 6 科技资讯S C I E N C E T E C H N O L O G YI N F O R M A T I O N 2 高等数学中一个比较重要的部分就是积分学问题 而定积分的 计算更是高等数学中比较常见的问题 通过研究发现 概率思想同样可以在求解某些广义定积分上 发挥重要的作用 同样可以达到减少计算难度 提高准确性的目 的 即 可以利用式子本身的特性 通过变形 使被积函数成为某个 随机变量的概率密度函数 从而利用概率密度函数的归一性 可以 使得某一部分积分为l 达到简化计算的目的 比如在例4 1 4J 中 将被 积函数化成正态分布的概率密度函数 然后再利用正态分布的性 质 结合概率密度的规范性来使问题变得简单 例4 计算广e 1 广斑 解 设连续型随机变量Z N u 盯2 一 O l 2 其概率密度为 八砷 7 1 I e x ER 2 f r O 利用概率密度的归一性r 一 x 出 l 有 x 2 j F 广 三P 1 丁出 l 所以r P l 丁出 五矗 042 G o 3 概率论中数学期望与方差是随机变量的数字特征 利用随机变 量的数学期望与方差之间的关系 不经可以解决高等数学中的求 级数问题 而且还可以求广义定积分的问题 下面的例5 即使利用概率论中几何分布的数学期望与方差之 间的关系得到了比较难于计算的级数计算问题 而例6 通过把被积 函数变形为正态分布的随机变量数学期望使问题得到圆满的解 决 例7 用广义定积分的分部积分法可以直接求解 但是要用两次 分部积分法 并要计算极限才可以 比较麻烦 应用指数分布的随 机变量数学期望使问题得到圆满的解决 这样对其进行化简后 大 大节省了计算的时间 提高了计算效率 骶求鲥犷 解 设随机变量 服从P 的几何分布 即P f 一 陪 联o 3 自 6 卿E 2 E 铲 D 9 6 1 5 另一方面班鲥i 1 人 J 2 j I 鲥 扩州刷r 2 盯划 倒6 计算积分广 4 x 2 5 x 6 弦一 2 n 3 出 解 被积函数中含有因式P 一 z 经过配方整理后为一 P x l f 刚好是参数是 一l 矿 的正态分布概率密度函数的一部分 故有 壁 胂恤 啦小 矗 一 压 压C 4 x 2 5 x 6 一圳I 2 d x 君 2 6 粤 2 5 删 6 5 E 4 X 5X 4EX P 州m 僻吵6 等蝴分 芋 嚣 则一 竺丽 F 厶韭 万方数据 科技教育 Q 塑Q S C I E N C E T E C H N O L O G YI N F O R M A T I O N 例7 计算f 4 x 2 5 x 6 e q 出 解 被积函数中含有因子e 2 刚好是参数A 2 的指数分布 其数学期望为号 方差为i 所以 f 4 x 2 5 工 6 弦 2 出 告r 缸2 5 工 6 2 e 2 出 圭州2 5 X 蚪E X 2 焉剧伽2 越1m 等 4 高等数学中一些比较难的二重积分的计算问题 通过建立概率 模型 利用正态分布的性质和卡方分布的特性相结合 可以把复杂 的二重积分问题转化为简单的某点在某特殊区域的概率问题 再 结合概率的一些知识解决 下面例8 就是根据积分区域和被积函数的特点 想到利用概 率模型来解决 从而使问题得到简化 罢Z 例8 计算二重积分 F 挚 其中D 为椭圆 善 善筑七 o 口2 b 一 2 伊 解 建立概率模型 设 舌 叼 落在椭圆 寺 内的概率 其 中善 7 相互独立且善一N O a 2 1 7 N O b 2 于是f 2 铲 舻删 所求概率为P 2 七 r 寺 出 1 一一 所以 原二重积 分的值为 l 一矿 当然利用概率统计思想设计随机试验 根据频率与概率的关 系 来测定刀的近似值的方法也是比较有趣的问题 这屿将概率 思想应用到高等数学计算中的实践 充分说明 在我们 概率论与 数理统计 的教学中 如果能将本文提高的实例应用到课堂授课的 实际中 会大大提高学生进 步学好概率课程的积极性 对于提高 课堂教学效果起到非常大的作用 另一方面 概率论的用处不仅仅 在高等数学的计算中能发撺出强大的作用 在高等数学证明同样 发挥重要的作用 关于概率思想在高等数学证明中的应用研究正 在展开 不就得将来就可以形成论文初稿 在一些T 程计算和金融 计算中也有很多比较好的例子说明概率论的重要性 遗憾的是 我 们现在的课堂教学课时非常有限 不能够在课堂教学中给学生充 分展示出概率论的强大作用 希望能够在今后的课程改革中能得 到学校有关部门的大力支持 增加 概率论与数理统计 的实践性 教学课时 参考文献 l 盛骤 概率论与数理统计 M 北京 高等教育出版社 2 0 1 0 1 2 第3 版 2 张立新 概率统计极限理论及其相关问题 J 国际学术动态 2 0 0 7 3 3 刘军 望清凤 数学分析中一些等式的概率方法证明 J 三峡大 学学报 自然科学版 2 0 0 5 3 4 李智明 概率方法在其它数学问题中的应用 J 河北北方学院 学报 自然科学版 2 0 0 7 4 5 l 胡学平 概率方法在分析中的若干应用 J 高等数学研究 2 0 0 7 1 6 陆晓恒 概率方法在证明数学问题中的应用 J 高等数学研究 2 0 0 3 3 稿件要求 l 稿件应具有科学性 先进性和实用性 论点明确 论据可靠 数据准确 逻辑严谨 文字通顺 2 计量单位以国家法定计量单位为准 统计学符号按国家标准 统计学名词及符号 的规定书写 3 所有文章标题字数在2 0 字以内 4 参考文献应引自正式出版物 在稿件的正文中依其出现的先后顺序用阿拉伯数字加方括号在段末上角标出 5 参考文献按引用的先后顺序列于文末 6 正确使用标点符号 表格设计要合理 推荐使用三线表 7 图片要清晰 注明图号 投稿说明 l 稿件须以电子文档形式发送 如为打印稿 请附软盘 软盘采用W o r d 格式 请勿一稿多投 来稿一律不退 请作者自留底 稿 2 本刊已加入 中国学术期刊 光盘版 中文科技期刊数据库 万方数据数字化期刊群 等网络媒体 本刊发表的文章 将在网络媒体上全文发布 3 本刊编辑部对来稿有修改权 不愿改动者请事先说明 自收稿之日起1 个月内未收到用稿通知 作者可自行处理 4 来稿请注明作者姓名 单位 通讯地址 邮编 联系电话及电子信箱 5 如有一稿多投 剽窃或抄袭行为者 一切后果由作者本人负责 科技资讯S O I E N C E T E O H N O L O O YI N F O R M A T I O N19 7 万方数据 概率思想在高等数学计算中的应用研究概率思想在高等数学计算中的应用研究 作者 卓泽强 魏文玲 李小龙 作者单位 北京石油化工学院数理系 北京 102617 刊名 科技资讯 英文刊名 SCIENCE p值 检验零假设 总体真 正相关系数为0 时的显著性概率 为0 0051 证明了真正的总体相关系数不为0 10 期刊论文 梁存利 考研高等数学试题中有