利用数学软件对Mindlin解的积分及工程应用.pdf

第22卷 2008年 第1期 2月 岩 土 工 程 技 术 Geotechnical Engineering Technique Vol122 No11 Feb 2008 文章编号 100722993 2008 0120001205 利用数学软件对Mindlin解的积分及工程应用 胡鹏飞1 张在明1 2 1 1 北京工业大学建筑工程学院 北京 100022 21 北京市勘察设计研究院有限公司 北京 100038 摘 要 探索了利用数学软件Mathematica对经典课题Mindlin解进行二次积分的方法 并以矩形均布荷载为例 分析讨 论了Boussinesq解和Mindlin解在地基土体中引起的应力场分布的差异 从而为工程分析采用比较合理的方法打下了基础 关键词 Mathematica Mindlin解 应力计算 中图分类号 TU 431 Integral of Mindlin s Stress Formula by Mathematics Software and Its Application in Geotechnical Engineering Hu Pengfei1 Zhang Zaiming1 2 1 1Beijing University of Technology Beijing 100022 21BGI Engineering Consultants Ltd1 Beijing 100038 China Abstract Efforts have been made to solve the problem of multiple integral of Mindlin s stress formula employing the mathematics software1And then the difference of distribution of stress fields in subsoil deduced by Boussinesq and Mindlin so2 lutions was compared1Although the Boussinesq solution has been so widely used even for the analysis of problems concerning relatively deeply buried foundations the verification was given that the introduced method would give more reasonable results for aforementioned problems1 Key Words Mathematica Mindlin s stress formula stress calculation 0 问题的提出 目前我国各类技术规范中 对沉降计算方法 的规定 除了某些行业采用叶果洛夫法之外 绝大 多数是用分层总和法 前者是直接分析半无限空 间体中不同部位的应变关系 计算出压缩量 后者 则首先分析土体中的应力分布 再依据压缩模量 的大小计算沉降量 1 在分层总和法中 对于土 体中的附加应力 采用Boussinesq 1883 解 布氏 课题将地基视为均质 线弹性和各向同性的半无 限体 用弹性力学方法求得半无限体表面作用一 竖向集中力时在地基中引起的应力 经过积分可 以得到不同形式的分布荷载引起的应力场的分布 情况 虽然布氏解仅仅限于荷载作用于地表的情 况 仍然得到广泛应用 主要是由于过去的基础埋 置深度很浅 往往仅有数米 与其采用的假定比较 接近 在近20年左右 随着高层建筑和大型公用 建筑的大量修建 基础埋深大大增加 很多达到20 余米 而且在主体建筑下还采用桩基础 桩长一般 在15 30 m之间 对于这种情况 建筑荷载由基 础构件传递到离地面很深的基底或桩端持力层 与布氏解荷载作用在半无限空间体表面的假定 相去很远 在这种情况下 采用荷载作用于半无 限弹性体内的弹性理论Mindlin解 1936 2 显然 更为合理 这个道理是得到认同的 对于明氏解在工程应用方面的努力 大体上有 两个方向 其一是Geddes等人根据Mindlin的课题解 将 桩端阻力简化为一个集中荷载 并考虑了桩侧阻力 的不同分布形式 得到土体中任一点的竖向应力分 布 3 在此基础上 黄 强和刘金砺利用明氏解提 出了桩基下应力分析的 等效作用法 该方法已 经在桩基规范中得到应用 等效作用法 的基本思 路仍然是将明氏对于集中荷载的解直接应用到每根 单桩上 然后将所有的桩在地基中引起的应力进行 叠加 再将结果用于沉降计算 这种方法较传统的 方法是一次突破 但在计算桩基沉降时 必须预先知 基金项目 教育部博士点基金项目 20060005012 北京市自然科学基金重点项目 KZ200710005004 作者简介 胡鹏飞 1976年生 男 汉族 山西人 在读硕士研究生 E2mail hpf emails bjut edu cn 黄 强 刘金砺 群桩计算的等效作用法 R 桩基设计施工技术研讨会报告 1990 2 岩 土 工 程 技 术2008年第1期 道布桩条件 使用往往不是十分方便 特别是在勘 察阶段 一般尚不具备这样的条件 因此也难以进行 必要的分析 论证方案的经济合理性 这类方法很 难应用到天然地基上 第二个方向是利用数学推导的方法 通过对荷载 作用面积的积分 将原来集中荷载的解推广到分布荷 载条件 这种努力从上世纪50年代徐志英教授等 人 4 开始 早期的工作并没有引起广泛的重视 直到 本世纪初左右 出现了若干有关的文献 较有代表性的 有袁聚云等 5 和王士杰等 627 发表的论文 特别值得 注意的是王士杰等人在这个领域做了比较系统的工 作 文献 627 不仅推导了不同形态的分布荷载的公 式 发现了前人的某些错误 还对成果进行了有意义的 讨论 上述对于分布荷载条件下的解 无疑具有实用 价值 问题是手算推导过程非常繁杂 往往长达数页 由于对参数定义的差别 不同学者推导的结果在表达 形式上不同 计算结果也有一定的差别 作为工程应 用的基础表达式 其正确性需要验证 随着计算机软件技术的发展 出现了可以做各种 数学运算的 数学软件 mathematics softwares 8 这是计算机应用上的一个重要的突破 有人将这种技 术称为 数学机械化的符号计算系统 本文就是应 用这种技术求得问题的解 对已有的解答进行了复 核 并对结果的规律性进行了扼要的讨论 1 Mathematica数学软件简介 9 数学软件的开发和应用 大致上是从20世纪 70年代开始的 常用的有Maple Matlab Math2 CAD Mathematica等 我们仅以本文采用的Math2 ematica为例 对该类软件进行扼要的介绍 Mathematica是由美国物理学家Stephen Wolf2 ram开发的 是一种集数学计算 处理与分析于一 身的软件 拥有从多项式运算到微积分 特殊函数 分析运算等丰富的功能 能支持相当复杂的符号 运算 符号数值运算 并提供可视化输出 它可以 解决许多数学问题而不用编制大量的程序 操作 简单 易学 易用 它还是一个交互式计算系统 计算是在用户和Mathematica系统之间互相交换 传递信息数据的过程中完成的 Mathematica系统 所接受的命令都被称作 表达式 系统在接受了 一个表达式后就对它进行处理 然后返回计算结 果 在输入一个数学公式 方程组 矩阵等之后计 算机能直接给出结果 用户无需考虑中间的计算 过程 具有强大的符号计算功能是该软件的一个 显著特点 它直接支持符号运算 用户只要在计算 机上输入数学公式 符号和等式等 就可以很容易 地算出代数 积分 三角以及很多科技领域中的复 杂表达式的值 同时它又具有显示数学表格和图 形功能 可使用户对问题的理解 分析更加形象和 具体 优秀的数学计算软件有一个共同的比较突出的 优点 即能够保证以正确输入为前提下的复杂运算 过程的正确性 本文采用的系统Mathematica系 统 经过大量使用和考核 具有这种特点 2 土中应力分布的布氏解 10 作为比较目标 首先对布氏解进行简单的回顾 地基表面作用有一竖向集中力P在地基中任 意点M x y z 所引起的竖向应力布氏解为 z 3p 2 z3 R5 1 式中 R为点M与集中力作用点之距离 m 矩形面积受竖向均布荷载p作用时 整个作用 面在角点下深度z处A点引起的竖向应力增量可 对上式积分求出 z p 2 BLz B2 L2 2z2 B2 z2 L2 z2 B2 L2 z2 arctan BL zB2 L2 z2 p 2 mn 1 m2 2n2 1 n2 m2 n2 1 m2 n2 arctan m n1 m2 n2 p 2 式中 B L为矩形荷载面积宽度和长度 m m L B n z B 为附加应力系数 如果计算点处在矩形面积中任意点以下 可将 整块面积以该点为公共点划分为4块 总的附加应 力系数为4块面积角点附加应力系数之和 即 角点 法 3 土中应力分布的明氏解 311 竖向集中荷载作用下的明氏解 9 弹性半无限空间体内距表面深度h处作用有一 竖向集中荷载p时 在半无限 体内任一点M x y z 处产生的竖向应力分量的表达式为 z p 8 1 1 2 z h R31 1 2 z h R32 3 z h 3 R51 3z 3 4 z h 2 3h z h 5 z h R52 30hz z h 3 R72 3 式中 R1 x2 y2 z h 2 R2 x2 y2 z h 2 为土的泊松比 在上式中 如果h 0 R1 R2 可以退化为式 1 相当于集中荷载作用在表面的情况 胡鹏飞等 利用数学软件对Mindlin解的积分及工程应用3 计算简图见图1 图1 弹性无限体内集中荷载作 用下任一点的竖向应力简图 312 矩形面积均布荷载作用下的明氏解 31211 用计算机数学软件对公式的推导 弹性半无限体内矩形均布荷载作用下角点的 竖向应力见图2 距地表深度h处的矩形荷载面 积长度为L 宽度为B 该范围内单位面积上的均 布荷载为p 为确定在这种荷载条件作用下矩形 面积角点下点M 0 0 z 处的竖向应力增量 z 在矩形面积内取一长宽分别为dx dy的微单元面 积 其上作用的荷载为 dp pdxdy 当微单元面 积足够小时 可以将dp看成集中荷载 根据集中 荷载作用下的明氏解可求得M点在dp作用下的 竖向应力增量d z d z pdxdy 8 1 1 2 z h R31 1 2 z h R32 3 z h 3 R51 3z 3 4 z h 2 3h z h 5 z h R52 30hz z h 3 R72 图2 弹性半无限体内矩形均布荷 载作用下角点的竖向应力简图 整个作用面积在M点引起的竖向应力增量可 以对上式积分求出 z L x 0 B y 0 pdxdy 8 1 1 2 z h R31 1 2 z h R32 3 z h 3 R51 3z 3 4 z h 2 3h z h 5 z h R52 30hz z h 3 R72 利用数学软件Mathematica的符号计算功能 可方便地将上式的积分结果求出 z p 8 1 2 2 arctan BL h z B2 L2 h z 2 2 2 arctan BL h z B2 L2 h z 2 BL B2 L2 2 h z 2 h z B2 h z 2 L2 h z 2 B2 L2 h z 2 2hLz h z 3 B B2 h z 2 B2 L2 h z 2 3 2 2hLz h z 3 h z B h z B B3 B2 h z 2 2 B2 L2 h z 2 4hLz h z B2 L2 h z 2 B L2 h z 2 2 2hLz 3B2 h z 2 B2 L2 h z 2 B3 h z L2 h z 2 BL B2 L2 2 h z 2 h2 2hz 3z2 4z h z h z B2 h z 2 L2 h z 2 B2 L2 h z 2 p 8 1 2 2 arctan m k n 1 m2 k n 2 2 2 arctan m k n 1 m2 k n 2 m 1 m2 2 k n 2 k n 1 k n 2 m2 k n 2 1 m2 k n 2 2kmn k n 3 1 k n 2 1 m2 k n 2 3 2 2kmn k n 3 k n 1 k n 1 1 k n 2 21 m2 k n 2 4kmn k n 1 m2 k n 2 m2 k n 2 2 2kmn 3 k n 2 1 m2 k n 2 k n m2 k n 2 m 1 m2 2 k n 2 k2 2kn 3n2 4n k n k n 1 k n 2 m2 k n 2 1 m2 k n 2 4 式中 m L B n z B k h B 从Mathematica得到的式 4 虽然从形式上看 复杂一些 但变量关系明确简单 很容易做成人们熟 悉的 像布氏解那样的表格 供查阅计算 31212 对结果正确性的复核 1 式 4 中 当h 0或k 0时 可以得到矩形 均布荷载作用于地表时 角点下一点的竖向应力增 量的表达式即布氏解 实际上 布氏解与明氏解都 是基于弹性理论推导得到的 二者之间的区别仅仅 在于假定荷载作用位置的不同 当荷载作用位置距 半无限体表面距离为零时 明氏解将退化为布氏解 即布氏解是明氏解的特例 以此可对上述积分结果 的正确性进行退化验证 在上述积分结果中 如果 h 0 可以退化为式 2 2 将上述成果与文献 6 进行了比较 证明二 4 岩 土 工 程 技 术2008年第1期 者虽然在结果的表达上有所不同 在不同条件下的 计算结果是完全一致的 应该可以作为任何工程应 用的基础 4 对计算结果的讨论 411 关于泊松比 的影响 布氏解的表达式中没有出现泊松比 因此解 也不受其影响 而明氏解则与 有关 为了考察 对明氏解的影响 图3给出了荷载作用相对基础埋 置深度比 或埋深比 k h B 013 015 110 210 310 510 矩形荷载面积长宽比m L B 1 10 泊 松比 011 013 015时角点下不同深度n z B z z2h 为从矩形面积荷载角点下起算至计算点 的距离 的附加应力系数变化曲线 见图 3 每一 幅图表示了不同的埋深比 即基础埋深与宽度之比 k h B 下 m分别为1和 10 代表矩形基础和近似 代表条形基础两种极端情况 时 泊松比 对分析结 果的影响 从每幅图中都可以看出 分析曲线大致 聚类为2个簇 每簇分别代表了m对于1和10的 情况 每簇3条曲线内部 则是 等于011 013和 015造成的差别 可以看出 不同的泊松比仅仅在k 值较大时 比如基础埋深达到宽度的2倍 且在基础 下一定深度范围内 有一定影响 即当k 1 2时 泊松比从011变到01 5 一般土体的变化不会这样 大 影响程度在10 之内 对于大多数情况 取 013进行实用表格的计算 误差完全满足一般工 程要求 实际上 叶果洛夫法的处理方式也是如此 图3 011 013 015矩形均布荷载作用于不同深度时角点下应力系数 胡鹏飞等 利用数学软件对Mindlin解的积分及工程应用5 412 荷载作用在不同深度时 角点下不同深度处两 种解的比较 为了比较荷载作用在不同深度时 采用明氏与 布氏两种方法计算角点下附加应力系数的不同 我 们可以根据 4 式计算求得 013 不同长宽比矩 形面积荷载作用在深度k h B 013 015 110 210 310 510时 角点下不同深度处的明氏应力系 数并与布氏解进行比较 限于篇幅 此处不再列出 可以得出以下的规律 1 采用布氏解求得的应力系数大于采用明氏解 所求得的结果 当荷载作用面距地面较浅 或基础埋 深较浅 时 二者之间的差别不大 可近似看作相等 采用布氏解求解不会带来很大的差别 k h B 013 和015时 角点下基础与地基的接触面附近 两种解 的差别不会大于7 随着作用深度的增加 比如 k h B大于015时 二者之间的差别将增大很多 对 于矩形基础 差别可达到20 左右 当k h B达到 5时 这种条件在桩基础中会遇到 明氏解的应力只 有布氏解的二分之一 2 当荷载作用深度一定 或基础埋深一定时 角 点下不同深度处明氏解与布氏解的差别随深度的增 加而减小 二者间的差别在角点附近处最大 在基 础下 相当于4 5倍基础宽度的深度上 二者的差 别可以忽略 最终趋于一致 413 荷载作用深度一定时 基础中心点下应力系数 分布比较 下面以埋深比k h B 3为例 对矩形基础中 心点下应力系数的明氏解与布氏解分布进行比较见 图4 基础中心线左侧为中心点下布氏应力系数分 布曲线 右侧为明氏应力系数分布曲线 两侧由内到 外5条曲线依次表示基础中心点下2B深度范围 内 长宽比m 1 2 3 4 10时的分布曲线 从图中 可以看出 当k 3时 明氏应力系数明显小于布氏 应力系数 只有布氏应力系数的50 左右 如果采 用应力比法确定基础沉降计算深度 则采用明氏法 的计算深度只需布氏法的一半左右 其次 两种分 布曲线在竖直方向上变化趋势大致相同 随着深度 增加 应力系数减小速率均由快变慢 当m增大时 应力系数均有所增大 但幅度逐渐减小 m大于4时 几乎不再变化 5 算 例 某群桩基础 桩径d 600mm 桩间距3d 呈矩形 布置 横向10根桩 纵向15根 基础埋深10 m 桩长 24m 基础下为单层砂质粉土 压缩模量30 MPa 桩底 附加压力300kPa 泊松比采用013 场地无地下水 图4 k 3B矩形基础中点下 应力系数分布图 按布氏解与分层总和法 等效作用分层总和 法 11 明氏解与分层总和法求出的基础中心点的沉 降结果分别为 为便于比较 沉降经验系数取110 152 mm 66 mm 74 mm 可见按布氏解求得的沉降值 远大于后两种方法的求解结果 按明氏解与分层总和 法的计算结果略大于等效作用分层总和法 约为按布 氏解计算结果的1 2 与上文的分析结果一致 6 结 论 本文利用数学软件Mathematica对矩形均布荷 载下明氏解二次积分进行了求解 通过比较分析土 中应力分布的明氏解与布氏解 得到了以下结论 1 由于荷载作用深度的影响 采用明氏解求得 的附加应力系数要小于采用布氏解的求解结果 在 基础埋深较浅处 二者之间的差别不大 可近似看作 相等 随着埋深比k h B增加 两种解的差别明 显 当k 015时 对于矩形基础 差别可达到20 左右 当k h B达到5时 明氏解的应力只有布 氏解的二分之一 2 当荷载作用深度一定时 角点下不同深度处明 氏解与布氏解的差别随深度的增加而减小 最终趋于 一致 二者间的差别在角点附近直接持力层处最大 3 对不同的荷载作用深度 泊松比 对附加应 力系数的影响并不大 可以采用m 013来计算得 到实用表格 误差满足一般工程要求 下转第19页 王亚军等 土方开挖粘塑性模糊随机损伤机理研究19 分析 J 1 土木工程学报 2000 33 4 512601 3 高文华 沈蒲生 杨林德1 基坑开挖中地层移动的影 响因素分析 J 1 岩石力学与工程学报 2002 21 8 1153211571 4 魏汝龙1 开挖卸载与被动土压力计算 J 1 岩土工程 学报 1997 19 6 882921 5 高广运 李 伟 顾国荣 等1 软土基坑土压力计算抗 剪强度参数的分析 J 1 岩土力学 2005 26 18321861 6 应宏伟 谢康和 潘秋元 等1 软粘土深基坑开挖时间效应 的有限元分析 J 1 计算力学学报 2000 17 3 34923541 7 陆新征 娄 鹏 宋二祥 等1 润扬长江大桥北锚特深 基坑支护方案安全系数及破坏模式分析 J 1 岩石力 学与工程学报 2004 23 11 1906219111 8 刘兴旺 施祖元 益德清 等1 软土地区基坑开挖变形 性状研究 J 1 岩土工程学报 1994 4 772811 9 袁 静 龚晓南1 基坑开挖过程中软土形状若干问题 的分析 J 1 浙江大学学报 工学版 2001 5 3281 10 Zhang W H Valliappan S1Analysis of random aniso2 tropic damage mechanics problems of rock mass part I2probabilistic simulation part II2statistical estima2 tion J 1J1Rock Mechanics and Rock Engineering 1990 23 1 912112 23 3 24122591 11 Zhang W H Valliappan S1Analysis of Random Ani2 sotropic Damage Mechanics Problems of Rock Mass Part II2Statistical Estimation J 1Int1J1Rock Mech1 and Rock Eng11991 23 24122591 12 Roscoe K H Burland J B1On the generalized stress2 strain behavior of wet clay1In Engineering Plastici2 ty M 1Cambridge University11968 5351 13 Duncan J M Chang C Y1Nonlinear analysis of stress and strain in soils J 1Soil Mech1Found1Eng1Div1 ASCE 96 No1SM511970 162921653 14 Chow C L Wang J1An anisotropic theory of elastic2 ity for continuum damage mechanics J 1International Journal of Fracture11987 33 3216 15 张强勇 朱维申 陈卫忠1 三峡船闸高边坡开挖卸荷 弹塑性损伤分析 J 1 水利学报 1998 8 202331 16 Simo J C Ju J W1Strain and stress based continuum damage models J 1Int1J1Solids Structures 1987 23 82128401 17 沈珠江1 结构性粘土的弹塑性损伤模型 J 1 岩土工 程学报 1993 15 3 212281 18 沈珠江1 结构性粘土的非线性损伤力学模型 J 1 水 利水运科学研究 1993 9 24722551 19 Lemaitre J1A continuous Damage Mechanics Model for Ductile Fracture J 1J of Eng1Mater1And Tech 1985 97 832891 20 Lemaitre J1How to use damage mechanics J 1Nucle2 ar Engineering and Design11984 80 23322451 21 Sidoroff F1Description of anisotropic damage application to elasticity C proc1ofIUTAMColloquium1Physical Nonlinearities in Structural Analysis 1981 23722441 22 Franziskonis G Des