第九章应用与数学建模.doc

第九章 应用与数学建模现在我们进行第九章的学习指导。第九章主要介绍的数学建模或者说数学模型。首先我们来介绍这一章的历史背景。一、历史背景数学模型很早就出现了，最早使用数学模型方法的当数中国古人。这在中国古代名著九章算术有着集中的体现。根据现代人的考证，九章算术至迟在公元前1世纪已经成书了。从方法论的角度来看，九章算术广泛地采用了模型化方法。近代第一个使用数学模型方法的是意大利科学家伽里略（Galileo）。1604年他建立了自由落体运动的数学模型：，伽利略从而在近代科学研究中引入了数学模型法。此后不久，德国科学家开普勒（Kepler）在1609年建立了行星运动的数学模型，即开普勒三大定律。即（1）行星的运动轨迹是一个椭圆，太阳位于它的一个焦点。（2）太阳行星的矢径所扫过的椭圆扇形面积随时间成比例增加。（3）所有行星运动轨道纵轴一半的立方与转动时间平方之比，具有相同的数值。这个数学模型是一个划时代的发现，它奠定了哥白尼（Copernicus）日心说的理论基础，并为牛顿力学的建立开辟了道路。随后，牛顿建立了经典力学体系，并且建立了这个体系的一个数学模型微积分，他的经典力学就是用数学模型表述出来的。牛顿和莱布尼茨所建立的微积分后来得到了很大的发展，其中某些理论，例如微分方程理论现在仍然是许多科学技术中最常用的数学模型之一。并且逐渐实现了这样一种转变：人们不只是由实际问题提炼出数学模型、运用数学模型解决原来的实际问题；并且开始对数学模型自身作深入的研究，应用研究的结果发现现实世界中的新事物。海王星、冥王星的发现就是著名的例证。随着现代数学的发展，数学模型已成为数学的一个重要分支。二、学习内容简介本章主要介绍数学模型方法、数学建模的基本步骤、数学模型方法的教学、以及数学模型方法的现代应用四方面内容。1数学模型模型对我们来说并不陌生，所谓模型就是对研究对象有关性质的模拟物。对于某个研究对象所建立的相应的模型，必须能反映研究对象的整体结构或某一侧面的本质特征。所谓数学模型，就是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。按广义理解，一切数学概念、数学理论体系、数学公式等都可称为数学模型。算术是计算盈亏、分享猎物等实际问题的数学模型；实数为度量的数学模型；几何则是物体外形和宇宙空间的数学模型等等。按狭义的理解，只有那些反映特定问题的数学结构才称为数学模型。例如，二元一次方程是鸡兔同笼问题的数学模型，一次函数是匀速直线运动的数学模型。 数学模型的分类数学模型的分类并不是唯一的，可按不同的标准得到不同的分类。如果按照建立模型所使用的数学工具的思维形式可分为概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型；若按模型的应用领域，可分为人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城市规划模型、生产过程模型等；若按建立模型所用的数学方法，可分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型等；若按建模的目的，可分为描述模型、仿真模型、预报模型、决策模型、控制模型等；若按对模型结构和参数的了解程度，可分为三种模型：模型的结构和参数都是已知的，称为白箱模型；结构已知，参数未知的称为灰箱模型；结构和参数都未知的称为黑箱模型。 数学模型方法所谓数学模型方法就是利用数学模型解决问题的一种数学方法，简称MM方法。更具体地说，就是把研究的问题化为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得到解答的一种数学方法。 用数学模型方法解决问题的基本步骤（1）从现实原型抽象概括出数学模型。也称为建模阶段。（2）在数学模型上进行逻辑推理、论证或演算，求得数学问题的解。这也是数学求解阶段。（3）从数学模型过渡到现实原型，即把研究数学模型所得到的结论，返回到现实原型上去，使实际问题得到解答。MM方法解题的基本步骤可用框图表示如下： 2数学建模 数学建模：根据实际问题，建立适合问题的数学模型，简称为数学建模。 数学建模的基本步骤：（1）弄清实际问题。包括了解问题的实际背景知识，从中提取有关的信息，明确要达到的目的。（2）化简问题。根据问题的特点和目的，作出某些合理的假设，舍弃一些次要因素，从而使问题得以化简。（3）建模。在假设的基础上，抓住主要因素和有关量之间的关系进行抽象概括，运用适当的数学工具刻划变量之间的数量关系，建立起相应的数学结构。（4）求解。对所得的模型在数学上进行推理或演算，求出数学上的结果。（5）检验。把数学上的结论返回到实际问题中去。若模型与实际问题符合，则给出实际问题的解或作出解释。倘若经过检验与实际不符，就必须对所得模型加以修正，重复前面的建模过程。3几个重要的数学模型 交轨模型：设有某个数学问题，它的解是由几个条件决定的，每个条件都可以确定某种元素的一个集合，则它们的交集的元素就是我们所要求的解。 方程模型：把实际问题归结为数学方程来求解。 鸽笼原理：又称抽屉原理。鸽笼原理可叙述为：若n+1只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进2只鸽子。它的更加一般的形式为：若m只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进k只鸽子。当m能被n整除时， ；当m不能被n整除时， ，其中 表示不超过 的最大整数。4数学模型方法的现代应用 能为重大决策提供依据。例如海湾战争中，正是数学计算为美军作战决策提供了依据。 能为科学技术选择发展方向。数学模型为确定核武器发展方向发挥了重要作用。确定核武器发展方向是一个重大问题。发展核武器主要是要提高其毁伤力。毁伤力与许多因素有关，其中两个因素最为关键，即炸弹的爆炸力和命中精度。因此，在核武器的发展上，就有以提高爆炸力和以提高命中精度为目标的两个方向可供选择。对此，美国了建立了一个数学模型。根据这个模型，单纯提高弹头大小来提高核武器威力的做法是不足取的。在实践上也确实如此，当各国在弹头大小发展到一定程度后，都以提高命中精度为主要发展方向。这个数学模型为选择核武器发展方向发挥了重要作用。 能预测与管理。数学模型是预测的重要工具，而预测是管理的依据。我国数学者在对天气、台风、地震、人口等方面进行过大量的统计预测。 能导致科学上的新发现。天王星与海王星的发现 万有引力 的伟大！天文学家在观察天王星的轨道时，发现实际轨道与计算的轨道有所偏差，相信这是由于另一棵（第八个）行星所导致。两位数学家分别工作，计算出该行星的位置及质量，最后由一位年轻的天文学家在1846年寻找到这棵星并名为海王星。找到了海王星之后，天文学家发现，海王星并不足以解释，天王星轨道所受扰动的程度。而海王星的轨道，也像受另一个未知天体的影响。所以，很自然地引发了寻找太阳系第九个行星的工作。1930年，美国天文学家 汤苞(Clyde W. Tombaugh， 1906-1997)，发现了第九颗行星，后来命名为冥王星 (Pluto)。发现了冥王星后不久，天文学家发现了冥王星质量太少了，不足以解释天王星及海王星轨道所受扰动的程度，因此，天文学家开始寻找X行星，但却没有发现。 19世纪下半叶，英国物理学家麦克斯韦建立了电磁场理论，他用一个微分方程作为数学模型，预言了电磁波的存在。后来德国物理学家赫兹终于发现了电磁波，揭开了无线电技术的序幕。三、本章重难点分析这里我们主要介绍两方面的内容，一是数学建模的基本步骤，再有一个就是我们讲一下鸽笼原理。1数学建模的基本步骤解释我们以思考题中的第六题为例来具体地分析数学建模的基本步骤。一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？ 弄清实际问题。也称模型准备阶段。包括了解问题的实际背景知识，从中提取有关的信息，明确要达到的目的和要求。上面问题比较简单。问题很清楚，旅馆的收入显然和入住率有直接关系。但入住率又和房价有关系。房价太高，入住率低，收入也不会很高。但房价又不能过低，太低了，虽然入住率上去了，但旅馆收入可能还是上不去。问题就是在房价定为多少，旅馆收入最高？ 化简问题。在这个阶段，就是要针对问题，舍弃一些次要因素，从而使问题得以化简。现实问题往往是复杂且杂乱无章的，涉及的变量非常多。如果不对其进行简化的话，则认识它是困难的。因此，必须将问题简单化和理想化。同时，理清变量之间的关系，把那些反映问题本质属性的量和关系抽象出来。为了建立数学模型，要把上述问题简化，为此我们提出下面假设假设1 设每间房的最高定价为160元假设2 设旅馆每间客房定价相等通过上面分析，我们发现，与160元相比，房价每减少20元，住房率上升10%，于是我们提出第三条假设假设3 与160元相比，降低的房价和增长的住房率成正比 建立模型。 在假设的基础上，抓住问题的主要因素和有关量之间的关系进行抽象概括，运用适当的数学工具刻画变量之间的数量关系，建立起相应的数学结构。上述主要涉及两个变量房价和收入，不妨设房价x， 此时的收入为y， 根据上面3条假设，我们要建立两个变量之间的关系这道题，我们就要建立收入和房价之间的变量关系。当房价为 x， 我们来看入住率应该为多少。与160元相比，房价为x时，房价减少了160-x ， 根据假设3，此时入住上升率为 ，入住率为 +55%。则可知收入y=150x（ +55%）于是问题归结为求y的最大值，即求当x为多少时，y取最大值，即问题的数学模型为 y= ，其中0x 模型求解。对所得的模型在数学上进行推理或演算，求出数学上的结果。上面问题即求 y= ，其中0x 。就是求当自变量x为多少时，二次函数y= ，（其中0x ）得到最大值。我们将式子展开，有y= = 于是我们有当x=135时，y取得最大值13668.75 检验。把数学上得到的结论返回到实际问题中去。把上面的值带回到实际问题中去。即当房价定为135元时，收入最高为13668.75元。需要指出的是，检验阶段，如果经过检验，所得模型确实合理，即可将模型应用到实际问题中去，并在实践中进一步接受验证。如果发现模型不合理，那就必须修改假设，重新建模。这一过程可以循环往复，直至获得满意的结果为止。2交轨模型和鸽笼原理解释交轨模型：设有某个数学问题，它的解是由几个条件决定的，每个条件都可以确定某种元素的一个集合，则它们的交集的元素就是我们所要求的解。例 有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，求满足条件的最小的三个数。分析：设三个数中的最小为a， 则中间的为a+1， 最大的为a+2只要找到求出a值即可。我们知道 a能被3整除，a+1能被5整除，这就意味着a除以5的余数是4，a+2能被7整除，这就意味着a除以7的余数为5。这样把问题转化为求a值，有这样三个条件来约束a，即被a能被3整除，被5除的余数是4，被7除的余数是5。而每 个条件都能确定一类整数。正好是交轨模型。 被3整除的数=3，6，9，12，15，18，48，51，54，57， 被5除余4的数=4，9，14，19，24，29，44，49，54，59， = 被7除余5的数=5，12，19，26，33，40，47，54，61， =54，159，264，369，a值应该取是三个集合交集中最小的数，即a=54我们问题所求的解是：54，55，56。 鸽笼原理我们都知道下面的叙述是正确的：“任意367个人中，必有生日相同的人。”“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1，2，.，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 这些结论是依据什么原理得出的呢？依据的就是鸽笼原理，通常又称为抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：若n+1只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进2只鸽子。由此我们推知，当2n+1只鸽子飞进n个笼子里，至少有一个笼子里至少飞进3只鸽子，因为若每个笼子里鸽子数不大于2个，飞进笼子里的鸽子数就会不大于2n个。更一般的，若有kn+b（bn） 只鸽子飞进n个笼子里，至少有一只笼子里至少飞进k+1只鸽子。或者说至少有一个笼子飞进的鸽子数不小于k+1个。它的更加一般的形式为：若m只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进k只鸽子。当m能被n整除时， ；当m不能被n整除时， ，其中 表示不超过 的最大整数。鸽笼原理本身并不难，关键的是在实际问题中如何构造鸽子和笼子。例 任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。分析：两个的数的差能被3整除，这两个数有什么特点？显然，这两个数被3除的余数应该是一样的。现在我们就考虑，任意取出的7个整数中，是否至少有3个整数被3除的余数是一样的？任意一个整数被3除的余数有3种情况即，0，1，2；取出的7个整数被3除的余数也是这3种情况。现在把0，1，2，看作3个鸽笼，而把取出来的7个整数看作7个鸽子，因为7个整数的余数总要是0，1，2这三个数中的一个，也就是7个鸽子总要对着一个笼子，所以根据鸽笼原理，至少有一个笼子对应着3个鸽子，也就是7个整数中至少有3个整数被3除的余数相同。7个整数中至少有3个数的两两之差是3的倍数。四、思考题与学习方法指导对于任意给出的7个正整数，证明其中至少有两个数，它们的和或差能被10整除。通过分析，我们知道两个整数的末尾数字相同，则其差一定能被10整除，两个整数末尾数字是下面六种情况：1和9、2和8、3和7、4和6、5和5、0和0，则两个整数的和能被10整除。综合上面两种情况，我们按照末尾数字把整数分成6类，分别用（0），（1，9）（2，8），（3，7），（4，6）和（5）表示，这里的每一个表示的是一类。如（0）表示末尾数字是0的所有正整数，如0，10，20等都在这一类中。（1，9）表示末尾数字是1或者末尾数字是9的所有正整数，如1，11，21，31，19，29，等等都在这个一类里。依此类推，（2，8）表示末尾数字是2和8的所有正整数，（3，7）表示末尾是3和7的所有正整数，（4，6）表示末尾数字是4和6的所有正整数，（5）表示末尾数字是5的所有正整