2017_18版高中数学第二章解析几何初步2.1圆的标准方程学案北师大必修.docx

21圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程知识点一圆的标准方程思考1确定一个圆的基本要素是什么？思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？梳理圆的概念及标准方程(1)圆的几何特征是圆上任一点到_的距离等于定长，这个定长称为_(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是_当ab0时，方程为x2y2r2，表示以_为圆心，r为半径的圆知识点二中点坐标公式A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(，)知识点三点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2y24的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r2是什么关系？梳理点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)2r2类型一求圆的标准方程例1(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_反思与感悟(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等跟踪训练1以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210B(x1)2(y2)2100C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)225例2求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2已知圆过两点A(3,1)，B(1,3)，且它的圆心在直线3xy20上，求此圆的标准方程类型二点与圆的位置关系例3(1)点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A点P在圆内 B点P在圆外C点P在圆上 D不确定(2)已知点M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法只需计算该点与圆的圆心之间的距离，并与半径作比较即可把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围跟踪训练3已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部，则a的取值范围是_类型三与圆有关的最值问题例4已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值引申探究1若本例条件不变，求yx的最大值和最小值2若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值反思与感悟(1)本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观(2)几种常见代数式的几何意义x2y2：点(x，y)与原点的距离的平方(xa)2(yb)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方表示点(x，y)与原点(0,0)所在直线的斜率表示点(x，y)与点(a，b)所在直线的斜率形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题跟踪训练4已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值1若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A(1,5)， B(1，5)，C(1,5)，3 D(1，5)，32圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)213已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y244若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_5求下列圆的标准方程(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，4)；(2)过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷答案精析问题导学知识点一思考1圆心和半径思考2能梳理(1)圆心半径(2)(xa)2(yb)2r2坐标原点知识点三思考|OA|2，|OC|2.题型探究例1(1)(x2)2y29(2)(x5)2(y3)225解析(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a0)，由题意知，解得a2，则圆C的半径为r|CM|3.圆的标准方程为(x2)2y29.(2)圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切，该圆的半径为5，该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.跟踪训练1DAB为直径，AB的中点(1,2)为圆心，|AB|5为半径，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225.例2解方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.方法二(直接法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径为r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.跟踪训练2解方法一设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，依题意，有即解得故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.方法二直线AB的斜率k，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x1，y2，因此直线m的方程为y22(x1)，即2xy0.又因为圆心在直线3xy20上，所以圆心是这两条直线的交点联立方程，得解得设圆心为C，所以圆心坐标为(2,4)又因为半径r|CA|，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.方法三设圆心为C.因为圆心在直线3xy20上，所以可设圆心C的坐标为(a,3a2)又因为|CA|CB|，所以，解得a2.所以圆心为(2,4)，半径长r|CA|.故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.例3(1)B(2)0,1)解析(1)由(m2)252m42524，得点P在圆外(2)由题意知即解得0a1.跟踪训练3(，1)(1，)例4解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.引申探究1解设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.跟踪训练4解(1)由已知，得C(3,0)，r2，所求方程为(x3)2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2.P到直线的最大距离为22，最小距离为22.当堂训练1B2A方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则1，b2，圆的标准方程是x2(y2)21.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)