2020新课标高考数学讲义：等差数列与等比数列含解析.doc

教学资料范本2020新课标高考数学讲义：等差数列与等比数列含解析编 辑：_时 间：_第1讲等差数列与等比数列做真题题型一等差数列1(20xx高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40、a55、则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n解析：选A.法一：设等差数列an的公差为d、因为所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5、Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d、因为所以解得选项A、a12153；选项B、a131107、排除B；选项C、S1286、排除C；选项D、S12、排除D.故选A.2(20xx高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4、a12、则a5()A12B10C10D12解析：选B.设等差数列an的公差为d、因为3S3S2S4、所以3(3a1d)2a1d4a1d、解得da1、因为a12、所以d3、所以a5a14d24(3)10.故选B.3(20xx高考全国卷)等差数列an的首项为1、公差不为0.若a2、a3、a6成等比数列、则an前6项的和为()A24B3C3D8解析：选A.设等差数列an的公差为d、因为a2、a3、a6成等比数列、所以a2a6a、即(a1d)(a15d)(a12d)2、又a11、所以d22d0、又d0、则d2、所以a6a15d9、所以an前6项的和S6624、故选A.4(20xx高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10、a23a1、则_解析：设等差数列an的公差为d、由a23a1、即a1d3a1、得d2a1、所以4.答案：4题型二等比数列1(20xx高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15、且a53a34a1、则a3()A16B8C4D2解析：选C.设等比数列an的公比为q、由a53a34a1得q43q24、得q24、因为数列an的各项均为正数、所以q2、又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15、所以a11、所以a3a1q24.2(20xx高考全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层、红光点点倍加增、共灯三百八十一、请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯、且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍、则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列、记为an、则前7项的和S7381、公比q2、依题意、得S7381、解得a13、故选B.3(20xx高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1、aa6、则S5_解析：通解：设等比数列an的公比为q、因为aa6、所以(a1q3)2a1q5、所以a1q1、又a1、所以q3、所以S5.优解：设等比数列an的公比为q、因为aa6、所以a2a6a6、所以a21、又a1、所以q3、所以S5.答案：4(20xx高考全国卷)等比数列an中、a11、a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63、求m.解：(1)设an的公比为q、由题设得anqn1.由已知得q44q2、解得q0(舍去)、q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1、则Sn.由Sm63得(2)m188、此方程没有正整数解若an2n1、则Sn2n1.由Sm63得2m64、解得m6.综上、m6.题型三等差、等比数列的判定与证明(20xx高考全国卷)已知数列an和bn满足a11、b10、4an13anbn4、4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列、anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解：(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)、即an1bn1(anbn)又因为a1b11、所以anbn是首项为1、公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8、即an1bn1anbn2.又因为a1b11、所以anbn是首项为1、公差为2的等差数列(2)由(1)知、anbn、anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n、bn(anbn)(anbn)n.山东省学习指导意见1数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)、了解数列是一种特殊函数2等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式等差、等比数列的基本运算典型例题 (1)已知等比数列an的前n项和为Sn、若a11、则数列an的公比q为()A4B2CD(2)(20xx开封模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn、等比数列bn的前n项和为Tn、a11、b11、a2b23.若a3b37、求bn的通项公式；若T313、求Sn.【解】(1)选C.因为2、所以q1.所以1q5、所以1q5、所以q.(2)设数列an的公差为d、数列bn的公比为q、则an1(n1)d、bnqn1.由a2b23、得dq4、(*)由a3b37、得2dq28、(*)联立(*)(*)、解得q2或q0(舍去)、因此数列bn的通项公式为bn2n1.因为T31qq2、所以1qq213、解得q3或q4、由a2b23、得d4q、所以d1或d8.由Snna1n(n1)d、得Snn2n或Sn4n25n.等差、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量、首项a1、公差d或公比q； (2)熟悉一些结构特征、如前n项和为Snan2bn(a、b是常数)的形式的数列为等差数列、通项公式为anpqn1(p、q0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置、所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算对点训练1(多选)已知数列an的前n项和为Sn、a11、a22、且对于任意n1、nN*、满足Sn1Sn12(Sn1)、则()Aa917Ba1018CS981DS1091解析：选BD.因为对于任意n1、nN*、满足Sn1Sn12(Sn1)、所以Sn1SnSnSn12、所以an1an2.所以数列an在n2时是等差数列、公差为2、又a11、a22、则a927216、a1028218、S9182273、S10192291.故选BD.2(一题多题)(20xx市质量检测)等比数列an的各项均为正实数、其前n项和为Sn.若a34、a2a664、则S5()A32B31C64D63解析：选B.通解：设首项为a1、公比为q、因为an0、所以q0、由条件得、解得、所以S531、故选B.优解：设首项为a1、公比为q、因为an0、所以q0、由a2a6a64、a34、得q2、a11、所以S531、故选B.3(20xx区调研考试)设an是公差不为零的等差数列、Sn为其前n项和、已知S1、S2、S4成等比数列、且a35、则数列an的通项公式为_解析：设数列an的公差为d(d0)、因为an是等差数列、S1、S2、S4成等比数列、所以(a1a2)2a1(a1a2a3a4)、因为a35、所以(52d5d)2(52d)(52d15)、解得d2或d0(舍去)、所以5a1(31)2、即a11、所以an2n1.答案：an2n1等差(比)数列的性质典型例题 (1)在等比数列an中、a3、a15是方程x26x20的根、则的值为()ABCD或(2)(20xx长春质量检测)设Sn是等差数列an的前n项和、若S40、且S83S4、S12S8、则()ABC2D3(3)(20xx福建漳州质检改编)若Sn是等差数列an的前n项和、且a2a9a196、则a10_、S19_【解析】(1)设等比数列an的公比为q、因为a3、a15是方程x26x20的根、所以a3a15a2、a3a156、所以a30、a150、a90、所以得1(n2)所以数列是以1为首项、公差为1的等差数列、所以1(n1)1n、所以Snn2.当n2时、anSnSn1n2(n1)22n1、当n1时、a11、也满足上式、所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bn、所以Tn.由Tn得n24n2、即(n2)26、所以n5、所以n的最小值为5.等差(比)数列的判定与证明典型例题 (20xx市调研测试)设Sn为数列an的前n项和、已知a37、an2an1a22(n2)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an的通项公式、并判断n、an、Sn是否成等差数列？【解】(1)证明：因为a37、a33a22、所以a23、所以an2an11、所以a11、2(n2)、所以数列an1是首项为a112、公比为2的等比数列(2)由(1)知、an12n、所以an2n1、所以Snn2n1n2、所以nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0、所以nSn2an、即n、an、Sn成等差数列判断(证明)等差(比)数列应注意的问题(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明、其他方法最后都会回到定义、如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数、但最后还得使用定义才能说明其为等差数列(2)证明数列an为等比数列时、不能仅仅证明an1qan、还要说明a10、才能递推得出数列中的各项均不为零、最后判定数列an为等比数列 对点训练1(20xx湖南省湘东六校联考)已知数列an满足an13an3n(nN*)且a11.(1)设bn、证明数列bn为等差数列；(2)设cn、求数列cn的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知得an13an3n、得bn11bn1、所以bn1bn1、又a11、所以b11、所以数列bn是首项为1、公差为1的等差数列(2)由(1)知、bnn、所以ann3n1、cn、所以Sn.2设Sn为数列an的前n项和、对任意的nN*、都有Sn2an、数列bn满足b12a1、bn(n2、nN*)(1)求证：数列an是等比数列、并求an的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列、并求数列bn的通项公式解：(1)当n1时、a1S12a1、解得a11；当n2时、anSnSn1an1an、即(n2、nN*)所以数列an是首项为1、公比为的等比数列、故数列an的通项公式为an.(2)因为a11、所以b12a12.因为bn、所以1、即1(n2)所以数列是首项为、公差为1的等差数列所以(n1)1、故数列bn的通项公式为bn.数列与新定义相交汇问题典型例题 对任一实数序列A(a1、a2、a3、)、定义新序列A(a2a1、a3a2、a4a3、)、它的第n项为an1an.假定序列(A)的所有项都是1、且a12a220、则a2_【解析】令bnan1an、依题意知数列bn为等差数列、且公差为1、所以bnb1(n1)1、a1a1、a2a1b1、a3a2b2、anan1bn1、累加得ana1b1bn1a1(n1)b1(n1)a2(n2)a1、分别令n12、n22、得解得a1、a2100.【答案】100数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识、化归、转化到“新定义”的相关知识(3)利用“新定义”及常规的数列知识、求解证明相关结论 对点训练1对于数列an、定义数列an1an为数列an的“差数列”、若a12、数列an的“差数列”的通项公式为an1an2n、则数列an的前n项和Sn()A2B2nC2n12D2n12解析：选C.因为an1an2n、所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n、所以Sn2n12.2(20xx福建五校第二次联考)在数列an中、a1、nN、且bn.记Pnb1b2bn、Snb1b2bn、则3n1PnSn_解析：因为、所以bn、所以Snb1b2bn.因为、所以bn、所以Pnb1b2bn.又a1、故3n1PnSn3.答案：3一、选择题1(20xx市质量检测)已知数列an中、a32、a71.若数列为等差数列、则a9()ABCD解析：选C.因为数列为等差数列、a32、a71、所以数列的公差d、所以(97)、所以a9、故选C.2(一题多解)已知等比数列an的前n项和为Sn、若S22、S36、则S5()A18B10C14D22解析：选D.法一：设等比数列an的公比为q、由题意、得、解得、所以S522、故选D.法二：设等比数列an的公比为q、易知q1、令A、则SnAqnA、解得、所以Sn(2)n1、所以S5(2)5122、故选D.3已知数列an是等比数列、数列bn是等差数列、若a1a6a113、b1b6b117、则tan 的值是()AB1CD解析：选A.依题意得、a()3、3b67、所以a6、b6、所以、故tantantantan、故选A.4(一题多解)(20xx市第一次质量检测)已知正项等差数列an的前n项和为Sn(nN*)、a5a7a0、则S11的值为()A11B12C20D22解析：选D.通解：设等差数列an的公差为d(d0)、则由(a14d)(a16d)(a15d)20、得(a15d)(a15d2)0、所以a15d0或a15d2、又a10、所以a15d0、则a15d2、则S1111a1d11(a15d)11222、故选D.优解：因为an为正项等差数列、所以由等差数列的性质、并结合a5a7a0、得2a6a0、a62、则S1111a622、故选D.5等差数列an中、已知|a6|a11|、且公差d0、则其前n项和取最小值时n的值为()A6B7C8D9解析：选C.由d0可得等差数列an是递增数列、又|a6|a11|、所以a6a11、即a15da110d、所以a1、则a80、所以前8项和为前n项和的最小值、故选C.6(多选)已知数列an是等比数列、则下列命题正确的是()A数列|an|是等比数列B数列anan1是等比数列C数列是等比数列D数列lg a是等比数列解析：选ABC.因为数列an是等比数列、所以q.对于A、|q|、所以数列|an|是等比数列、A正确；对于B、q2、所以数列anan1是等比数列、B正确；对于C、所以数列是等比数列、C正确；对于D、不一定是常数、所以D错误二、填空题7(20xx市第一学期监测)已知数列an中、a13、a27.当nN*时、an2是乘积anan1的个位数、则a2 019_解析：a13、a27、a1a221、a31、a2a37、a47、a3a47、a57、a4a549、a69、a5a663、a73、a6a727、a87、a7a821、a91、a8a97、所以数列an是周期为6的数列、又2 01963363、所以a2 019a31.答案：18在数列an中、nN*、若k(k为常数)、则称an为“等差比数列”、下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是_解析：由等差比数列的定义可知、k不为0、所以正确、当等差数列的公差为0、即等差数列为常数列时、等差数列不是等差比数列、所以错误；当an是等比数列、且公比q1时、an不是等差比数列、所以错误；数列0、1、0、1、是等差比数列、该数列中有无数多个0、所以正确答案：9(20xx洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)、g(x)f(x1)1、则g(x)的图象关于_对称、若angggg(nN*)、则数列an的通项公式为_解析：因为f(x)、所以f(x)f(x)、所以函数f(x)为奇函数因为g(x)f(x1)1、所以g(x)的图象关于点(1、1)对称、若x1x22、则有g(x1)g(x2)2、所以angggg2(n1)g(1)2n2f(0)12n1、即an2n1、故数列an的通项公式为an2n1.答案：(1、1)an2n1三、解答题10(20xx市诊断测试)已知数列an是等比数列、公比q1、若a22、a1a2a37.(1)求an的通项公式；(