2020新课标高考数学讲义：直线与圆含解析.doc

教学资料范本2020新课标高考数学讲义：直线与圆含解析编 辑：_时 间：_第1讲直线与圆做真题题型一圆的方程1(20xx高考全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1、则a()ABCD2解析：选A.由题可知、圆心为(1、4)、结合题意得1、解得a.2(20xx高考全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点、且圆心在x轴的正半轴上、则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4、b2、上、下顶点的坐标分别为(0、2)、(0、2)、右顶点的坐标为(4、0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0、2)、(0、2)、(4、0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4、r0)、则解得所以圆的标准方程为(x)2y2.答案：(x)2y23(20xx高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F、过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A、B两点、|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A、B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1、0)、l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1、y1)、B(x2、y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160、故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8、解得k1(舍去)、k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3、2)、所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)、即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0、y0)、则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1(20xx高考全国卷)直线xy20分别与x轴、y轴交于A、B两点、点P在圆(x2)2y22上、则ABP面积的取值范围是()A2、6B4、8C、3D2、3 解析：选A.圆心(2、0)到直线的距离d2、所以点P到直线的距离d1、3根据直线的方程可知A、B两点的坐标分别为A(2、0)、B(0、2)、所以|AB|2、所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1、3、所以S2、6、即ABP面积的取值范围是2、62(20xx高考全国卷)过三点A(1、3)、B(4、2)、C(1、7)的圆交y轴于M、N两点、则|MN|()A2B8C4D10解析：选C.设圆的方程为x2y2DxEyF0、则解得所以圆的方程为x2y22x4y200.令x0、得y22或y22、所以M(0、22)、N(0、22)或M(0、22)、N(0、22)、所以|MN|4、故选C.3(20xx高考全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A、B两点、过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点若|AB|2、则|CD|_解析：设圆心到直线l：mxy3m0的距离为d、则弦长|AB|22、得d3、即3、解得m、则直线l：xy60、数形结合可得|CD|4.答案：4山东省学习指导意见1直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念、经历用代数方法刻画直线斜率的过程、掌握过两点的直线斜率的计算公式能根据斜率判定两条直线平行或垂直(2)根据确定直线位置的几何要素、探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)体会斜截式与一次函数的关系(3)探索并掌握两点间的距离公式点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离、会求两直线的交点坐标2圆与方程(1)由圆的几何要素、探索并掌握圆的标准方程与一般方程(2)能根据给定直线、圆的方程、判断直线与圆、圆与圆的位置关系(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3空间直角坐标系了解空间直角坐标系、明确感受建立空间直角坐标系的必要性、会用空间直角坐标系刻画点的位置、会用空间两点间的距离公式直线的方程考法全练1若平面内三点A(1、a)、B(2、a2)、C(3、a3)共线、则a()A1或0B或0CD或0解析：选A.因为平面内三点A(1、a)、B(2、a2)、C(3、a3)共线、所以kABkAC、即、即a(a22a1)0、解得a0或a1.故选A.2若直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行、则m的值为()A7B0或7C0D4解析：选B.因为直线mx2ym0与直线3mx(m1)y70平行、所以m(m1)3m2、所以m0或7、经检验、都符合题意故选B.3已知点A(1、2)、B(2、11)、若直线yx1(m0)与线段AB相交、则实数m的取值范围是()A2、0)3、)B(、1(0、6C2、13、6D2、0)(0、6解析：选C.由题意得、两点A(1、2)、B(2、11)分布在直线yx1(m0)的两侧(或其中一点在直线上)、所以0、解得2m1或3m6、故选C.4已知直线l过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点、且点P(0、4)到直线l的距离为2、则直线l的方程为_解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1、2)显然直线x1不符合、即所求直线的斜率存在、设所求直线的方程为y2k(x1)、即kxy2k0、因为P(0、4)到直线l的距离为2、所以2、所以k0或k.所以直线l的方程为y2或4x3y20.答案：y2或4x3y205(一题多解)已知直线l：xy10、l1：2xy20.若直线l2与l1关于直线l对称、则直线l2的方程是_若直线l3与l关于点(1、1)对称、则直线l3的直线方程是_解析：法一：l1与l2关于l对称、则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上、故l与l1的交点(1、0)在l2上又易知(0、2)为l1上的一点、设其关于l的对称点为(x、y)、则、解得即(1、0)、(1、1)为l2上两点、故可得l2的方程为x2y10.因为l3l、可设l3的方程为xyc0、则.所以c1、所以l3的方程为xy10.法二：设l2上任一点为(x、y)、其关于l的对称点为(x1、y1)、则由对称性可知解得因为(x1、y1)在l1上、所以2(y1)(x1)20、即l2的方程为x2y10.因为l3l、可设l3的方程为xyc0、则.所以c1、所以l3的方程为xy10.答案：x2y10xy10(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时、主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件、即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数若出现斜率不存在的情况、可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断(2)轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1、y1)与P2(x2、y2)关于直线l：AxByC0对称、则线段P1P2的中点在对称轴l上、而且连接P1、P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2、y2)(其中B0、x1x2)直线关于直线的对称有两种情况、一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行一般转化为点关于直线的对称来解决 圆的方程典型例题 在平面直角坐标系xOy中、曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A、B、曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在、求出该圆的方程；若不存在、请说明理由(2)求证：过A、B、C三点的圆过定点【解】由曲线：yx2mx2m(mR)、令y0、得x2mx2m0.设A(x1、0)、B(x2、0)、则可得m28m0、x1x2m、x1x22m.令x0、得y2m、即C(0、2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C、则0、得x1x24m20、即2m4m20、所以m0或m.由0得m8、所以m、此时C(0、1)、AB的中点M即圆心、半径r|CM|、故所求圆的方程为y2.(2)证明：设过A、B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0、将点C(0、2m)代入可得E12m、所以过A、B、C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0、整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A、B、C三点的圆过定点(0、1)和.求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系、从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程、再由条件求得各系数、从而求得圆的方程 对点训练1若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆、则实数a的取值范围是()A(、2)BC(2、0)D解析：选D.若方程表示圆、则a2(2a)24(2a2a1)0、化简得3a24a40、解得2a.2经过原点且与直线xy20相切于点(2、0)的圆的标准方程是()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析：选A.设圆心的坐标为(a、b)、则a2b2r2、(a2)2b2r2、1、联立解得a1、b1、r22.故所求圆的标准方程是(x1)2(y1)22.故选A.3(20xx山东青岛模拟)已知圆M：x2y22xa0、若AB为圆M的任意一条直径、且6(其中O为坐标原点)、则圆M的半径为()ABCD2解析：选C.圆M的标准方程为(x1)2y21a(a0)上的动点、B为圆(x2)2y21上的动点、则|AB|的最小值是()A3B4C3D4解析：选A.根据题意、可在同一直角坐标系中作出yx(x0)和圆(x2)2y22的图象、由数形结合易知当A(2、4)、B(2、1)时 、|AB|有最小值3、故选A.2(20xx江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中、已知圆C过点A(0、8)、且与圆x2y26x6y0相切于原点、则圆C的方程为_、圆C被x轴截得的弦长为_解析：将已知圆化为标准式得(x3)2(y3)218、圆心为(3、3)、半径为3.由于两个圆相切于原点、圆心连线过切点、故圆C的圆心在直线yx上由于圆C过点(0、0)、(0、8)、所以圆心又在直线y4上联立yx和y4、得圆心C的坐标(4、4)又因为点(4、4)到原点的距离为4、所以圆C的方程为(x4)2(y4)232、即x2y28x8y0.圆心C到x轴距离为4、则圆C被x轴截得的弦长为28.答案：x2y28x8y083在平面直角坐标系xOy中、已知圆C与y轴相切、且过点M(1、)、N(1、)(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A、B两点、且直线OA与直线OB的斜率之积为2.求证：直线l恒过定点、并求出定点的坐标解：(1)因为圆C过点M(1、)、N(1、)、所以圆心C在线段MN的垂直平分线上、即在x轴上、故设圆心为C(a、0)、易知a0、又圆C与y轴相切、所以圆C的半径ra、所以圆C的方程为(xa)2y2a2.因为点M(1、)在圆C上、所以(1a)2()2a2、解得a2.所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)记直线OA的斜率为k(k0)、则其方程为ykx.联立消去y、得(k21)x24x0、解得x10、x2.所以A.由kkOB2、得kOB、直线OB的方程为yx、在点A的坐标中用代替k、得B.当直线l的斜率不存在时、得k22、此时直线l的方程为x.当直线l的斜率存在时、即k22.则直线l的斜率为.故直线l的方程为y.即y、所以直线l过定点.综上、直线l恒过定点、定点坐标为.一、选择题1已知直线l1过点(2、0)且倾斜角为30、直线l2过点(2、0)且与直线l1垂直、则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3、)B(2、)C(1、)D解析：选C.直线l1的斜率k1tan 30、因为直线l2与直线l1垂直、所以直线l2的斜率k2、所以直线l1的方程为y(x2)、直线l2的方程为y(x2)、联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1、)2圆C与x轴相切于T(1、0)、与y轴正半轴交于A、B两点、且|AB|2、则圆C的标准方程为()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：选A.由题意得、圆C的半径为、圆心坐标为(1、)、所以圆C的标准方程为(x1)2(y)22、故选A.3已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2、则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离解析：选B.圆M：x2y22ay0(a0)可化为x2(ya)2a2、由题意、M(0、a)到直线xy0的距离d、所以a22、解得a2.所以圆M：x2(y2)24、所以两圆的圆心距为、半径和为3、半径差为1、故两圆相交4(多选)直线xym0与圆x2y22x10有两个不同的交点的一个充分不必要条件是()A0m1Bm1C2m1D3m1解析：选AC.圆x2y22x10的圆心为(1、0)、半径为.因为直线xym0与圆x2y22x10有两个不同的交点、所以直线与圆相交、因此圆心到直线的距离d、所以|1m|2、解得3m0、y1y2、x1x2k(y1y2)2、因为、故M、又点M在圆C上、故4、解得k0.法二：由直线与圆相交于A、B两点、且点M在圆C上、得圆心C(0、0)到直线xky10的距离为半径的一半、为1、即d1、解得k0.二、填空题7过点(、0)引直线l与曲线y相交于A、B两点、O为坐标原点、当AOB的面积取最大值时、直线l的斜率等于_解析：令P(、0)、如图、易知|OA|OB|1、所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB、当AOB90时、AOB的面积取得最大值、此时过点O作OHAB于点H、则|OH|、于是sinOPH、易知OPH为锐角、所以OPH30、则直线AB的倾斜角为150、故直线AB的斜率为tan 150.答案：8已知圆O：x2y24到直线l：xya的距离等于1的点至少有2个、则实数a的取值范围为_解析：由圆的方程可知圆心为(0、0)、半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个、所以圆心到直线l的距离dr121、即d3、解得a(3、3)答案：(3、3)9(20xx高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0、m)、半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2、1)、则m_、r_解析：法一：设过点A(2、1)且与直线2xy30垂直的直线方程为l：x2yt0、所以22t0、所以t4、所以l：x2y40.令x0、得m2、则r.法二：因为直线2xy30与以点(0、m)为圆心的圆相切、且切点为A(2、1)、所以21、所以m2、r.答案：2三、解答题10已知点M(1、0)、N(1、0)、曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍(1)求曲线E的方程；(2)已知m0、设直线l1：xmy10交曲线E于A、C两点、直线l2：mxym0交曲线E于B、D两点当CD的斜率为1时、求直线CD的方程解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x、y)、由题意得、整理得x2y24x10、即(x2)2y23为所求(2)由题意知l1l2、且两条直线均恒过点N(1、0)设曲线E的圆心为E、则E(2、0)、设线段CD的中点为P、连接EP、ED、NP、则直线EP：yx2.设直线CD：yxt、由解得点P、由圆的几何性质、知|NP|CD|、而|NP|2、|ED|23、|EP|2、所以3、整理得t23t0、解得t0或t3、所以直线CD的方程为yx或yx3.11在平面直角坐标系xOy中、曲线yx2mx2与x轴交于A、B两点、点C的坐标为(0、1)、当m变化时、解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现ACBC的情况、理由