2020新课标高考艺术生数学复习：数列求和含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：数列求和含解析编 辑：_时 间：_第4节数列求和最新考纲核心素养考情聚焦1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法1.公式法求和、达成数学抽象和数学运算素养2.分组转化法求和、发展逻辑推理和数学运算素养3.裂项相消法求和、提升逻辑推理和数学运算素养4.错位相减法求和、增强逻辑推理和数学运算素养本节主要考查：(1)等差数列和等比数列的求和(2)使用裂项法、错位相减法求和(3)根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和一般以数列的基本问题为先导、在解决数列基本问题后考查数列求和、在求和后有时与不等式、函数、最值等问题综合以解答题为主、难度中等或稍难求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d.等比数列的前n项和公式()当q1时、Snna1；()当q1时、Sn.(2)分组转化法把数列适当拆分、分为几个等差、等比数列、先分别求和、然后再合并、形如：anbn、其中an是等差数列、bn是等比数列；an(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和、正负相消、剩下首尾若干项常见的裂项公式：；()；设等差数列an的公差为d、则.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加、即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和、即等比数列求和公式的推导过程的推广形如：anbn、其中an是等差数列、bn是等比数列(6)并项求和法一个数列的前n项和中、可两两结合求解、则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型、可采用两项合并求解例如、Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一些常见数列的前n项和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)2462nn2n.思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)如果数列an为等比数列、且公比不等于1、则其前n项和Sn.( )(2)当n2时、.( )(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得( )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法、利用此法可求得sin2 1sin2 2sin2 3sin2 88sin2 8944.5( )(5)若Sn1234(1)n1n、则S5025( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1等差数列an中、已知公差d、且a1a3a9950、则a2a4a100( )A50B75C100D125解析：Ba2a4a100(a1d)(a3d)(a99d)(a1a3a99)50d505075.2设首项为1、公比为的等比数列an的前n项和为Sn、则( )ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：D可以直接利用等比数列的求和公式求解、也可以先求出通项和前n项和、再建立关系法一：在等比数列an中、Sn32an.法二：在等比数列an中、a11、q、an1n1n1.Sn3332an.3已知等差数列an的前n项和为Sn、a55、S515、则数列的前100项和为( )A. B.C. D.解析：A设等差数列an的首项为a1、公差为d.a55、S515、ana1(n1)dn.、数列的前100项和为11.4(人教A版教材习题改编)数列1、3、5、7、(2n1)、的前n项和Sn的值等于_答案：n215设数列an的通项公式为an22n1、令bnnan、则数列bn的前n项和Sn为_. 解析：由bnnann22n1知Sn12223325n22n1、从而22Sn123225327n22n1、得(122)Sn2232522n1n22n1、即Sn(3n1)22n12答案：(3n1)22n12考点一公式法求和(自主练透)题组集训1等差数列an的公差为2、若a2、a4、a8成等比数列、则an的前n项和Sn( )An(n1)B. n(n1)C. D.解析：A因为a2、a4、a8成等比数列、所以aa2a8、所以(a16)2(a12)(a114)、解得a12.所以Snna1dn(n1)故选A.2若等比数列an满足a1a410、a2a520、则an的前n项和Sn_.解析：由题意a2a5q(a1a4)、得20q10、故q2、代入a1a4a1a1q310、得9a110、得a1.故Sn(2n1)答案：(2n1)3(20xx全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列、a12、a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2 an、求数列bn的前n项和解：(1)设an的公比为q、由题设得2q24q16、即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1、因此数列bn的前n项和为132n1n2.数列求和应从通项入手、若无通项、则先求通项、然后通过对通项变形、转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之考点二分组转化法求和(师生共研)典例(20xx天津卷)已知an是等比数列、前n项和为Sn(nN*)、且、S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*、bn是log2an和log2an1的等差中项、求数列(1)nb2n的前2n项和解析(1)设数列an的公比为q.由已知、有、解得q2或q1.又由S6a163、知q1、所以a163、得a11.所以an2n1.(2)由题意、得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n、即bn是首项为、公差为1的等差数列设数列(1)nb2n的前n项和为Tn、则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn、且bn、cn为等差或等比数列、可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列、其中数列bn、cn是等比数列或等差数列、可采用分组求和法求和；(3)某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差、从而求得原数列的和、这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究、将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论跟踪训练(20xx北京卷)已知an是等差数列、bn是等比数列、且b23、b39、a1b1、a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn、求数列cn的前n项和解：(1)等比数列bn的公比q3、所以b11、b4b3q27.设等差数列an的公差为d、因为a1b11、a14b427、所以113d27、即d2、所以an2n1(nN*)(2)由(1)知、an2n1、bn3n1、因此cnanbn2n13n1、从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.考点三裂项相消法求和(师生共研)典例(20xx全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0、a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn、求数列bn的前n项和解析(1)由a2an4Sn3、可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1、即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0、可得an1an2.又a2a14a13、解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3、公差为2的等差数列、通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn、则Tnb1b2bn.拓展提高利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项、也有可能前面剩两项、后面也剩两项；(2)将通项裂项后、有时需要调整前面的系数、使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列、则、.跟踪训练(20xx全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)a13a2(2n1)an2n、n2时、a13a2(2n3)an12(n1)得、(2n1)an2、an、又n1时、a12适合上式、an.(2)设数列的前n项和为Sn由(1)、Sn1.考点四错位相减法求和(师生共研)典例(20xx山东卷)已知数列an的前n项和Sn3n28n、bn是等差数列、且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn.求数列cn的前n项和Tn.思维导引(1)利用an与Sn的关系先求出数列an的通项公式、再利用anbnbn1求出数列bn的通项公式；(2)利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn.解析(1)由题意知、当n2时、anSnSn16n5.当n1时、a1S111、符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d、由即可解得b14、d3.所以bn3n1.(2)由(1)知、cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn.得Tn3222323(n1)2n12Tn3223324(n1)2n2两式作差、得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.(1)一般地、如果数列an是等差数列、bn是等比数列、求数列anbn的前n项和时、可采用错位相减法求和、一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比、然后作差求解；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式跟踪训练(20xx市一模)数列an的前n项和为Sn、且Sn1、数列bn为等差数列、且a2(b22)1、a1b1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)a1S11、n2时、anSnSn1、适合a1、an、由a1b1得b11、由a2(b22)1得(b22)1、b22、d1、bn1(n1)1n.(2)anbn、由Tn、得Tn、两式相减、得Tn1、Tn2.1数列an中、an、若an的前n项和为、则项数n为( )A2 019B2 016C2 017 D2 018解析：Aan、Sn11、所以n2 019.2.等于()A. B.C. D.解析：B法一：令Sn、则Sn、得Sn.Sn.故选B.法二：取n1时、代入各选项验证可知选B.3已知数列an：、那么数列bn的前n项和为()A4 B4C1 D.解析：A由题意知an、bn4、所以b1b2bn44444.4数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)、则它的前100项之和S100等于()A200B200C400D400解析：BS100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.5数列an满足a11、且对任意的nN*都有an1a1ann、则的前100项和为()A. B. C. D.解析：D数列an满足a11、且对任意的nN*都有an1a1ann、an1an1n、anan1n、an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21、2、的前100项和22、故选D.6(20xx市一模)已知数列an的前n项和公式为Snn2、若bn2an、则数列bn的前n项和Tn_.解析：Snn2、当n1时、S1a11、当n2时、Sn1(n1)2、由可得an2n1、当n1时也成立、an2n1、bn2an24n1、Tn(4n1)答案：(4n1)7数列an的前n项和Snn24n2、则|a1|a2|a10|_.解析：当n1时、a1S11.当n2时、anSnSn12n5.an令2n50、得n、当n2时、an0、|a1|a2|a10|(a1a2)(a3a4a10)S102S266.答案：668数列an的前n项和Sn2n1、则aaa_.解析：当n1时、a1S11、当n2时、anSnSn12n1(2n11)2n1、又a11适合上式an2n1、a4n1.数列a是以a1为首项、以4为公比的等比数列aaa(4n1)答案：(4n1)9. (20xx全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22、S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn、并判断Sn1、Sn、Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q、由题设可得、解得故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn、故Sn1、Sn、Sn2成等差数列10(20xx天津卷)设an是等差数列、其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列、公比大于0、其前n项和为Tn(nN*)已知b11、b3b22、b4a3a5、b5a4