2020新课标高考艺术生数学复习：函数的单调性与最值含解析.docx

教学资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：函数的单调性与最值含解析编 辑：_时 间：_第2节函数的单调性与最值最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数图象、会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值、理解它们的作用和实际意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1.函数的单调性的判断或证明、发展数学抽象和逻辑推理素养2.确定函数的单调区间、提升直观想象和逻辑推理素养3.确定函数的最值(值域)、发展直观想象和数学运算素养4.函数单调性的应用、发展逻辑推理和数学运算素养确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点、题型多以选择题、填空题的形式出现、难度不大、属于低中档题、常与函数的图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题、则以解答题的形式出现、难度较大、属于中高档题在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查1函数的单调性增函数减函数定义一般地、设函数f(x)的定义域为I、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2当x1x2时、都有f(x1)f(x2)、那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)、那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数、那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性、区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I、如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI、都有f(x)M；(2)存在x0I、使得f(x0)M(3)对于任意xI、都有f(x)M_；(4)存在x0I、使得f(x0)M结论M是f(x)的最大值M是f(x)的最小值1设x1、x2D(x1x2)、则x1x20(或0(或0(或0)、f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递减；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在D上单调递增；0(或(x1x2)f(x1)f(x2)0)的增区间为(、和、)；减区间为、0)和(0、且对勾函数为奇函数3单调函数的运算性质(1)在函数f(x)、g(x)的公共单调区间上、有如下结论：若f(x)、g(x)都是增(减)函数、则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)是增(减)函数、g(x)是减(增)函数、则f(x)g(x)是增(减)函数；(2)若函数f(x)在区间D上具有单调性、则在区间D上具有以下性质：当a0时、函数af(x)与f(x)有相同的单调性、当a0时、函数af(x)与f(x)有相反的单调性；当函数f(x)恒为正(或恒为负)时、f(x)与有相反的单调性；若f(x)0、则f(x)与具有相同的单调性4如果函数yf(x)在区间a、b上单调递增、在区间b、c上单调递减、则函数yf(x)、xa、c在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间a、b上单调递减、在区间b、c上单调递增、则函数yf(x)、xa、c在xb处有最小值f(b)思考辨析判断下列说法是否正确、正确的在它后面的括号里打“”、错误的打“”(1)函数f(x)的图象如图所示、则函数f(x)的单调增区间是(、0(0、)( )(2)若定义在R上的函数f(x)、有f(1)0、则函数f(x)在D上是增函数( )(6)在闭区间上单调的函数、其最值一定在区间端点取到( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1(20xx合肥调研)下列函数中、在区间(0、)内单调递减的是( )AyxByx2xCyln xx Dyexx解析：A对于A选项、y1在(0、)内是减函数、y2x在(0、)内是增函数、则yx在(0、)内是减函数；B、C选项中的函数在(0、)上均不单调；选项D中、yex1、而当x(0、)时、y0、所以函数yexx在(0、)上是增函数2设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示、则关于函数y的单调区间表述正确的是( )A在1,1上单调递减B在(0,1上单调递减、在1,3)上单调递增C在5,7上单调递减D在3,5上单调递增解析：B由图象可知当x0、x3、x6时、f(x)0、此时函数y无意义、故排除A、C、D.故选B.3(20xx郑州模拟)函数y2x23x1的单调递增区间为()A(1、) B.C. D.解析：B易知函数yt为减函数、t2x23x1的单调递减区间为.函数y2x23x1的单调递增区间是.4函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_解析：f(x)2在1,2上是增函数、f(x)maxf(2)、f(x)minf(1)1.答案：、15已知函数f(x)为R上的减函数、若mn、则f(m)_f(n)；若ff(n)；1、即|x|1、且x0.故1x(1,0)(0,1)考点一函数单调性的判断或证明(自主练透)逻辑推理函数单调性问题中的核心素养依据增函数、减函数的定义证明函数单调性、通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行、充分体现了“逻辑推理”的核心素养题组集训1(20xx南宁模拟)下列函数中、在区间(1、)上是增函数的是( )Ayx1ByCy(x1)2 Dy31x解析：B函数yx1在(1、)上为减函数；y在(1、)上为增函数；y(x1)2在(1、)上为减函数；y31x在(1、)上为减函数、故选B.2判断并证明函数f(x)(其中a0)在x(1,1)上的单调性证明：法一(定义法)：设1x1x21、则f(x1)f(x2).1x1x20、x1x210、(x1)(x1)0.因此当a0时、f(x1)f(x2)0、即f(x1)f(x2)、此时函数f(x)在(1,1)上为减函数. 法二(导数法)：f(x).又a0、所以f(x)0、所以函数f(x)在(1,1)上为减函数利用定义法证明或判断函数单调性的步骤易错警示：可导函数也可以利用导数判断但是、对于抽象函数单调性的证明、只能采用定义法进行判断考点二确定函数的单调区间(课堂共研)典例(1)函数yx22|x|1的单调递增区间为_、单调递减区间为_(2)函数yf(x)(xR)的图象如图所示、则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.B、1C(、0) D.解析(1)由于y即y画出函数图象如图所示、单调递增区间为(、1和0,1、单调递减区间为1,0和1、)(2)由图象知f(x)在(、0和上单调递减、而在上单调递增又0a1时、ylogax为(0、)上的减函数、所以要使g(x)f(logax)单调递减、需要logax、即0logax、解得x、1故选B.答案(1)(、1和0,11,0和1、)(2)B互动探究1若将典例(1)中的函数变为“y|x22x1|”、则结论如何？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知、函数y|x22x1|的单调递增区间为(1、1)和(1、)；单调递减区间为(、1)和(1,1)2若将本例题(2)中的“0a1”、则函数g(x)的单调递减区间如何？解析：由例(2)解析知、需logax0或logax、解得x1或x、又x0、所以单调递减区间为(0,1、)1求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性、即转化为已知函数的和、差或复合函数、求单调区间(2)定义法：先求定义域、再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的、或者f(x)的图象易作出、可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间2求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数yf(u)、ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增同减、则yf(g(x)为增函数；若一增一减、则yf(g(x)为减函数、即“同增异减”提醒：单调区间只能用区间表示、不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写、不能用并集符号“”联结、也不能用“或”联结跟踪训练1设函数f(x)g(x)x2f(x1)、则函数g(x)的递减区间是()A(、0 B0,1)C1、) D1,0解析：Bg(x)如图所示、其递减区间是0,1)故选B.2(20xx全国卷)函数f(x)ln (x22x8) 的单调递增区间是( )A(、2) B(、1)C(1、) D(4、)解析：D由x22x80、得函数的定义域为(、2)(4、)令tx22x8、则yln t.tx22x8(x1)29、tx22x8的单调增区间为(4、)又yln t是增函数、函数f(x)ln (x22x8) 的单调增区间为(4、)考点三确定函数的最值(值域)(师生共研)典例(1)若函数f(x)在上的值域是、则实数a的值为_(2)函数f(x)(x1)的最小值为_解析(1)因为函数f(x)在区间上是增函数、值域为、所以f、f(2)2、即解得a.(2)法一：基本不等式法：f(x)(x1)2228、当且仅当x1、即x4时、f(x)min8.法二：导数法：f(x)、令f(x)0、得x4或x2(舍去)当1x4时、f(x)4时、f(x)0、f(x)在(4、)上递增、所以f(x)在x4处达到最小值、即f(x)minf(4)8.答案(1)(2)8求函数最值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法：应先确定函数的单调性、然后再由单调性求解(2)图象法：作出函数的图象、利用最值的几何意义、观察其图象最高点、最低点、求出最值(3)基本不等式法：分子、分母其中一个为一次、一个为二次函数结构以及两个变量(如x、y)的函数、一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件、用基本不等式法求最值(值域)(4)导数法：用导数法、先求出给定区间上的极值、再结合端点值求得(5)换元法：对解析式较复杂的函数、可通过换元转化为以上四种类型中的某种、再求解易错警示：用换元法时、一定要注意新“元”的范围. 跟踪训练1函数yx(x0)的最大值为_解析：令t则t0、所以ytt22、结合二次函数的图象知、当t、即x时、ymax.答案：2函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在R上递减、ylog2(x2)在1,1上递增、所以f(x)在1,1上单调递减、故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案： 3考点四函数单调性的应用(多维探究)命题角度1比较两个函数值或两个自变量的大小1已知函数f(x)log2x、若x1(1,2)、x2(2、)、则()Af(x1)0、f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0、f(x2)0、f(x2)0解析：B函数f(x)log2x在(1、)上为增函数、且f(2)0、当x1(1,2)时、f(x1)f(2)0、即f(x1)0.命题角度2解函数不等式2f(x)是定义在(0、)上的单调增函数、满足f(xy)f(x)f(y)、f(3)1、当f(x)f(x8)2时、x的取值范围是()A(8、) B(8,9C8,9 D(0,8)解析：B211f(3)f(3)f(9)、由f(x)f(x8)2、可得fx(x8)f(9)、因为f(x)是定义在(0、)上的增函数、所以有解得8x9.命题角度3利用单调性求参数的取值范围或值3如果函数f(x)满足对任意x1x2、都有0成立、那么a的取值范围是_破题关键点函数f(x) 满足对任意x1x2、都有0成立、推出f(x)在(、)上是增函数解析：因为对任意x1x2、都有0、所以yf(x)在(、)上是增函数所以解得a2.故实数a的取值范围是.答案：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小、应将自变量转化到同一个单调区间内、然后利用函数的单调性解决(2)解含“f”的不等式在求解与抽象函数有关的不等式时、利用函数的单调性将“f”符号脱掉、使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数、依据函数的图象或单调性定义、确定函数的单调区间、与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a、b上是单调的、则该函数在此区间的任意子集上也是单调的1(20xx市模拟)给定函数：yx、ylog(x1)、y|x1|、y2x1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )ABCD解析：Byx在(0,1)上递增；tx1在(0,1)上递增、且01、故ylog(x1)在(0,1)上递减；结合图象可知y|x1|在(0,1)上递减；ux1在(0,1)上递增、且21、故y2x1在(0,1)上递增故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是.2已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(、3)上是减函数、则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：D当a0时、f(x)12x5、在(、3)上是减函数；当a0时、由、得0a.综上、a的取值范围是0a.3(20xx市模拟)函数yln (x24x3)的单调减区间为( )A(2、) B(3、)C(、2) D(、1)解析：D令tx24x30、求得x1、或x3、故函数的定义域为x|x1、或x3、且yln t.由二次函数的性质得、t在区间(、1)上为减函数、在区间(3、)为增函数、又yln t在t(0、)上为增函数、根据复合函数单调性的判断方法、知函数yln (x24x3)的单调减区间为(、1)4已知f(x)是(、)上的减函数、那么a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析：C由题意知 即 所以a.故选C.5已知函数f(x)x22axa在区间(、1)上有最小值、则函数g(x)在区间(1、)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数解析：D由题意知a1、g(x)x2a、当a0时、g(x)在、)上是增函数、故在(1、)上为增函数、g(x)在(1、)上一定是增函数6(20xx日照一模)已知奇函数f(x)为R上的减函数、若f(3a2)f(2a1)0、则实数a的取值范围是_解析：奇函数f(x)为R上的减函数、不等式f(3a2)f(2a1)0、等价为f(3a2)f(2a1)f(12a)、即3a212a、即3a22a10、得(a1)(3a1)0、得1a、即实数a的取值范围是.答案：7设函数f(