【高二数学】正弦定理、余弦定理（共6页）.doc

正弦定理、余弦定理 同步教学主讲：黄冈中学特级教师吴校红一、一周知识概述本周主要学习解三角形的两个重要定理正弦定理和余弦定理通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况二、知识归纳1、三角形中的边角关系在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：ABC180；（2）边与角之间的关系：正弦定理：余弦定理：a2b2c22bccosAb2c2a22accosBc2a2b22abcosC射影定理：abcosCccosBbccosAacosCcacosBbcosA2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；（2）已知两边和一边的对角解三角形5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；（2）已知两边和夹角解三角形6、三角形面积公式：三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论下图即是表示在ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论如果sinB1，则问题无解；如果sinB1，则问题有一解；如果求出sinB1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断2、利用三角形面积证明正弦定理已知ABC，设BCa，CAb，ABc，作ADBC，垂足为D则在RtADB中， ADABsinBcsinB3、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2b2c22bccosA中含有未知数时，等式便成为方程式中 有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA4、向量方法证明三角形中的射影定理在ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c四、例题讲解例1、不解三角形，判断三角形的个数a5，b4，A120a30，b30，A50a7，b14，A30a9，b10，A60a6，b9，A45c50，b72，C135例2、在ABC中，已知，求A、C和c例3、在ABC中，若tanAtanBa2b2，试判断ABC的形状例4、如图所示，在ABC中，已知BC15，AB：AC7：8，求BC边上的高例5、已知三角形的三个内角成等差数列，它的面积是，周长是20cm求三角形三边的长- - 高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F则。逆定理：一直线截ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若，则D,E,F三点共线。塞瓦定理在ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 =1。逆定理：在ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果=1，那么直线AD，BE，CF相交于同一点。托勒密定理ABCD为任意一个圆内接四边形，则。逆定理：若四边形ABCD满足，则A、B、C、D四点共圆西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2DC+AC2BD-AD2BCBCDCBD。三角形旁心 1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。费马点在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1) 若三角形ABC的3个内角均小于120，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2) 若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。判定（1）对于任意三角形ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120，则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。几何不等式1托勒密不等式:任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2埃尔多斯莫德尔不等式:设P是ABC内任意一点，P到ABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z2(p+q+r) 3外森比克不等式:设ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a2+b2+c244欧拉不等式:设ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R2r,当且仅当ABC为正三角形时取等号。圆幂 假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP2-R2即为P点到圆O的幂； 可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；根轴 1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。 2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。相关定理1