2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题七第二讲概率及其应用.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题七第二讲概率及其应用编 辑：_时 间：_高考考点考点解读利用古典概型求事件的概率1.单纯考查古典概型概率公式的应用2与互斥、对立事件相结合考查3与统计问题相结合命题利用几何概型求事件的概率1.与长度有关的几何概型2与面积有关的几何概型概率与统计的综合问题1.与频率分布相结合命题2与数字特征相结合命题备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)掌握古典概型、几何概型的概率公式及其应用(2)注意古典概型与统计的结合题(3)注意几何概型与线性规划、平面几何相结合的问题预测2020年命题热点为：(1)古典概型与互斥事件、对立事件相结合问题(2)古典概型与统计相结合问题Z 1古典概型的概率特点：有限性.等可能性P(A).2几何概型的概率特点：无限性.等可能性P(A).3随机事件的概率范围：0P(A)1.必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.如果事件A与事件B互斥.则P(AB)P(A)P(B).如果事件A与事件B互为对立事件.那么P(AB)P(A)P(B)1.即P(A)1P(B).4互斥事件概率公式的推广P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An),Y 1混淆互斥事件与对立事件.对立事件是互斥事件的特殊情况.互斥事件不一定是对立事件2不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义3几何概型中.线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果4在几何概型中.构成事件区域的是长度、面积.还是体积判断不明确.不能正确区分几何概型与古典概型.1(20xx全国卷.5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务.则选中的2人都是女同学的概率为( D )A0.6B0.5C0.4D0.3解析用1,2代表两名男同学.A.B.C代表三名女同学.则选中的两人可以为12,1A,1B,1C,2A,2B,2C.AB.AC.BC共10种.全是女同学有AB.AC.BC共3种.所以概率P0.3.故选D2(20xx全国卷.5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45.既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15.则不用现金支付的概率为( B )A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析方法一：画Venn图.如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x.则0.450.15x1.解得x0.4.所以不用现金支付的概率为0.4.方法二：记“用现金支付”为事件A.“用非现金支付”为事件B.则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B(AB).由已知.P(A)0.450.150.6.P(AB)0.15.又P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.6P(B)0.151.所以P(B)0.55.P(B(AB)P(B)P(AB)0.550.150.4.3(20xx全国卷.11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张.放回后再随机抽取1张.则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )A B C D解析从5张卡片中随机抽取1张.放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25.第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10.所求概率P.故选D4(20xx全国卷.2)如图.正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点.则此点取自黑色部分的概率是( B )A B C D解析不妨设正方形ABCD的边长为2.则正方形内切圆的半径为1.可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.得S黑S白S圆.所以由几何概型知所求概率P.故选B5(20xx北京卷.17)电影公司随机收集了电影的有关数据.经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部.求这部电影是获得好评的第四类电影的概率(2)随机选取1部电影.估计这部电影没有获得好评的概率(3)电影公司为增加投资回报.拟改变投资策略.这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加0.1.哪类电影的好评率减少0.1.使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解析(1)由表知.电影公司收集的电影部数为140503002008005102 000.获得好评的第四类电影部数为2000.2550.所以所求概率为0.025.(2)方法一：记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A.由表知.没有获得好评的电影部数为140(10.4)50(10.2)300(10.15)200(10.25)800(10.2)510(10.1)1 628.所以P(A)0.814.即所求概率为0.814.方法二：记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A.则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件.由表知.获得好评的电影部数为1400.4500.23000.152000.258000.25100.1372.所以P(A)0.186.所以P()1P(A)0.814.即所求概率为0.814.(3)由表及已知.第五类电影的好评率增加0.1.第二类电影的好评率减少0.1.符合要求 例1 某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次.每次转动后.待转盘停止转动时.记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x.y.奖励规则如下：若xy3.则奖励玩具一个；若xy8.则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀.四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小.并说明理由解析用数对表示儿童参加活动先后记录的数.其活动记录与奖励情况如下： yxyx123411234224683369124481216显然.基本事件总数为16.(1)xy3情况有5种.所以小亮获得玩具的概率.(2)xy8情况有6种.所以获得水杯的概率.所以小亮获得饮料的概率10中随机取一个实数m.若|m|2的概率为.则实数a的值为( B )A5B6C9D12解析由题意|m|2的概率为.则.解得a6.(2)(20xx衡阳二模)若不等式组表示区域为.不等式(x)2y2表示的区域为.向区域均匀随机撒360颗芝麻.则落在区域中芝麻数约为( A )A114 B10 C150 D50解析作出平面区域如图：则区域的面积为SABC3.区域表示以D(.0)为圆心.以为半径的圆.则区域和的公共面积为S()2()2.所以芝麻落入区域的概率为.所以落在区域中芝麻数约为3603020114.规律总结判断几何概型中的几何度量形式的方法1当题干涉及两个变量问题时.一般与面积有关2当题干涉及一个变量问题时.要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动.则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动.则几何度量是面积(体积)提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法.求解时.画图务必准确、直观G 1在区间0,2上随机地取一个数x.则事件“1log(x)1”发生的概率为( A )ABCD解析由1log(x)1.得x2.解得0x.所以事件“1log(x)1”发生的概率为.故选A2某校早上8：00开始上课.假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校.且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的.则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)解析设小张和小王到校的时间分别为x和y.则则满足条件的区域如图中阴影部分所示故所求概率P.(一)频率分布直方图与概率综合应用 例3 某公司为了解用户对其产品的满意度.从A.B两地区分别随机调查了40个用户.根据用户对产品的满意度评分.得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图.并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值.给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分.将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为“不满意”的概率大？说明理由解析(1)如图所示通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出.B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值.B地区用户满意度评分比较集中.而A地区用户满意度评分比较分散(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”.CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6.P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以A地区的用户的满意度等级为“不满意”的概率大(二)茎叶图与概率的综合应用 例4 甲、乙两人参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.画出茎叶图如图所示.乙的成绩中有一个数的个位数字模糊.在茎叶图中用c表示(把频率当作概率)(1)假设c5.现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛.从统计学的角度.你认为派哪位学生参加比较合适？(2)假设数字c的取值是随机的.求乙的平均分高于甲的平均分的概率解析(1)若c5.则派甲参加比较合适.理由如下：甲(70280490298842153)85.乙(70180490353525)85.s(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(9585)235.5.s(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.甲乙.s甲.则(75804903352c)85.c5.c6,7,8,9.又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.乙的平均分高于甲的平均分的概率为.规律总结求概率与统计综合题的两点注意(1)明确频率与概率的关系.频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型.在求解时.要明确基本事件的构成G 某公司计划购买1台机器.该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件.在购进机器时.可以额外购买这种零件作为备件.每个200元在机器使用期间.如果备件不足再购买.则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件.为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数.得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数.y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).n表示购机的同时购买的易损零件数(1)若n19.求y与x的函数解析式(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5.求n的最小值(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件.或每台都购买20个易损零件.分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数.以此作为决策依据.购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析(1)当x19时.y3 800；当x19时.y3 800500(x19)500x5 700.所以y与x的函数解析式为y (xN)(2)由柱状图知.需更换的零件数不大于18的频率为0.46.不大于19的频率为0.7.故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件.则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800.20台的费用为4 300,10台的费用为4 800.因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800704 300204 80010)4 000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件.则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500.因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000904 50010)4 050.比较两个平均数可知.购买1台机器的同时应购买19个易损零件A组1小敏打开计算机时.忘记了开机密码的前两位.只记得第一位是M.I.N中的一个字母.第二位是1,2,3,4,5中的一个数字.则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )ABCD解析根据题意可以知道.所输入密码所有可能发生的情况如下：M1.M2.M3.M4.M5.I1.I2.I3.I4.I5.N1.N2.N3.N4.N5共15种情况.而正确的情况只有其中一种.所以输入一次密码能够成功开机的概率是.故选C2在某次全国青运会火炬传递活动中.有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手若从中任选2人.则选出的火炬手的编号相连的概率为( D )A B C D解析由题意得从5人中选出2人.有10种不同的选法.其中满足2人编号相连的有(1,2).(2,3).(3,4).(4,5).共4种不同的选法.所以所求概率为.故选D3(20xx江西宜春中学3月模拟)已知在数轴上0和3之间任取一个实数x.则使“log2x1”的概率为( C )A B C D解析由log2x1.得0x0.又a4,6,8.b3,5,7.即ab.而a.b的取法共有339种.其中满足ab的取法有(4,3).(6,3).(6,5).(8,3).(8,5).(8,7).共6种.所以所求的概率为.9.(20xx郑州模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形.其中四边形ABCD为正方形.G为线段BC的中点.四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形.连接EB.CI.则向多边形AEFGHID中投掷一点.该点落在阴影部分内的概率为.解析设正方形ABCD的边长为2.则由题意.多边形AEFGHID的面积为SAGFESDGHISADG()2()22212.阴影部分的面积为2224.所以向多边形AEFGHID中投掷一点.该点落在阴影部分内的概率为.10(20xx永州三模)我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫.把20xx年列为“精准扶贫”攻坚年.20xx年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本.以考核该县20xx年的“精准扶贫”成效(20xx年贫困家庭脱贫的标准为人均收入不小于3000元)根据所得数据将人均收入(单位：千元)分成五个组：1,2).2,3).3,4).4,5).5,6.并绘制成如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值(2)如果被抽取的100户贫困家庭有80%脱贫.则认为该县“精准扶贫”的成效是理想的请从统计学的角度说明该县的“精准扶贫”效果是理想还是不理想？(3)从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户.求至少有1户人均收入在区间1,2)上的概率解析(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1.得：0.020.030.45a0.21.解得a0.3.(2)由频率分布直方图得人均收入超过3000元的频率为：10.020.030.9595%80%.所以从统计学的角度来说该县的“精准扶贫”效果理想(3)户人均收入小于3千元的贫困家庭中有(0.020.03)1005(户).其中人均收入在区间1,2)上有0.021002(户).人均收入在区间2,3)上有0.031003(户).从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户.基本事件总数n10.至少有1户人均收入在区间1,2)上的对立事件是两户人均收入都在区间2,3)上.所以至少有1户人均收入在区间1,2)上的概率：P1.B组1已知P是ABC所在平面内一点.20.现将一粒黄豆随机撒在ABC内.则黄豆落在PBC内的概率是( C )A B C D解析如图所示.取边BC上的中点D.由20.得2.又2.故.即P为AD的中点.则SABC2SPBC.根据几何概率的概率公式知.所求概率P.故选C2(20xx济南模拟)已知函数f(x)ax3bx2x.连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a.b.则函数f (x)在x1处取得最值的概率是( C )A B C D解析由题意得f (x)ax2bx1.因为f (x)在x1处取得最值.所以1.符合的点数(a.b)有(1,2).(2,4).(3,6).共3种情况又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a.b)共有36种情况.所以所求概率为.故选C3在区间0,1上随机取两个数x.y.记p1为事件“xy”的概率.p2为事件“|xy|”的概率.p3为事件“xy”的概率.则( B )Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp3p1p2 Dp3p2p1解析满足条件的x.y构成的点(x.y)在正方形OBCA及其边界上事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“|xy|”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分对三者的面积进行比较.可得p2p3n.有(2,1).(3,1).(6,5).共1234515种情况.因此P(A).7将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是.解析将骰子先后抛掷2次的点数记为(x.y).则共有36个等可能基本事件.其中点数之和大于或等于10的基本事件有6种：(4,6).(5,5).(5,6).(6,4).(6,5).(6,6)所以所求概率为.8(20xx湖北武汉二月调考)如图所示.茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数.甲乙990899200101(1)求甲组工人制造零件的平均数和方差；(2)分别从甲、乙两组中随机选取一名工人.求这两名工人制造的零件总数不超过20的概率解析