2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题三立体几何 第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积含解析.doc

教学资料范本2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题三立体几何 第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积含解析编 辑：_时 间：_第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷20xx三棱锥的外接球、球的体积T12空间几何体的结构特征、直观图、几何运算、数学文化T16空间两直线的位置关系的判定T8简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积T1620xx空间几何体的三视图、直观图及最短路径问题T7圆锥的性质及侧面积的计算T16三视图与数学文化T3与外接球有关的空间几何体体积的最值问题T1020xx空间几何体的三视图与直观图、面积的计算T7空间几何体的三视图及组合体体积的计算T4球的内接圆柱、圆柱的体积的计算T8(1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现.这“两小”或“一小”主要考查三视图.几何体的表面积与体积.空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)(2)考查一个小题时.本小题一般会出现在第48题的位置上.难度一般；考查两个小题时.其中一个小题难度一般.另一小题难度稍高.一般会出现在第12或16题的位置上.本小题虽然难度稍高.主要体现在计算量上.但仍是对基础知识、基本公式的考查 空间几何体的三视图、直观图与截面图 例1(1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头.凹进部分叫卯眼.图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体.则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(2)(20xx江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示.则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()ABCD(3)(20xx全国卷)已知正方体的棱长为1.每条棱所在直线与平面所成的角都相等.则截此正方体所得截面面积的最大值为()A BCD解析(1)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示.由直观图可知其俯视图应选A.故选A.(2)在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC如图所示.其中最短的棱为AB和BC.最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2.所以ABBC2.PC3.所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为.故选D.(3)如图所示.在正方体ABCDA1B1C1D1中.平面AB1D1与棱A1A.A1B1.A1D1所成的角都相等.又正方体的其余棱都分别与A1A.A1B1.A1D1平行.故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等如图所示.取棱AB.BB1.B1C1.C1D1.D1D.DA的中点E.F.G.H.M.N.则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大.此截面面积为S正六边形EFGHMN6sin 60.故选A.答案(1)A(2)D(3)A解题方略1识别三视图的步骤(1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状.明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关规则先确定正视图.再确定俯视图.最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面；(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征.调整实线和虚线所对应的棱、面的位置；(3)确定几何体的直观图形状3由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图.还原、推测直观图的可能形状.然后再找其剩下部分视图的可能形状当然作为选择题.也可将选项逐项代入.再看看给出的部分三视图是否符合4常见三类空间几何体的截面图轴截面、横截面与斜截面：利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决多练强化1.(20xx全国卷)某圆柱的高为2.底面周长为16.其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A.圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B.则在此圆柱侧面上.从M到N的路径中.最短路径的长度为()A2B2C3D2解析：选B先画出圆柱的直观图.根据题图的三视图可知点M.N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M.N的位置(N为OP的四等分点)如图所示.连接MN.则图中MN即为M到N的最短路径ON164.OM2.MN 2.故选B.2已知球O是正三棱锥ABCD的外接球.BC3.AB2.点E在线段BD上.且BD3BE.过点E作球O的截面.则所得截面中面积最小的截面圆的面积是_解析：如图.设BCD的中心为点O1.球O的半径为R.则A.O.O1三点共线连接O1D.O1E.OD.OE.则O1D.AO13.在RtOO1D中.R23(3R)2.即R2.所以OO11.在O1DE中.DEBD2.O1DE30.所以由余弦定理得O1E 1.所以OE.过点E作圆O的截面.当截面与OE垂直时.截面的面积最小.此时截面圆的半径为.所以截面圆的面积为2.答案：2 题型一求空间几何体的表面积例2(1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中提到了一种名为“刍甍”的五面体.如图所示.四边形ABCD为矩形.棱EFAB.若此几何体中.AB4.EF2.ADE和BCF都是边长为2的等边三角形.则该几何体的表面积为()A8B88C62D862(2)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“今有倚壁外角堆米.下周九十尺.高十二尺”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示).米堆底部的弧长为90尺.米堆的高为12尺圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上.则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数.如23.23)()A250平方尺B990平方尺C1 035平方尺D518平方尺解析(1)如图所示.取BC的中点P.连接PF.则PFBC.过F作FQAB.垂足为Q.因为ADE和BCF都是边长为2的等边三角形.且EF AB.所以四边形ABFE为等腰梯形.FP.则BQ(ABEF)1.FQ .所以S梯形EFBAS梯形EFCD(24)3.又SADESBCF2.S矩形ABCD428.所以该几何体的表面积S322888.故选B.(2)由三视图可知.米堆为圆锥的.其中.圆锥的高为12尺.底面圆的周长的为90尺设圆锥的底面半径为r.则2r90.由3可得.r20.所以圆锥的母线长为23(尺)易知草席的面积为圆锥的侧面积的.即20233202345231 035(平方尺)故选C.答案(1)B(2)C解题方略求几何体的表面积的方法1求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题.即空间图形平面化.这是解决立体几何的主要出发点2求不规则几何体的表面积时.通常将所给几何体分割成柱、锥、台体.先求这些柱、锥、台体的表面积.再通过求和或作差求得所给几何体的表面积题型二求空间几何体的体积例3(1)(20xx天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形.侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点.另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心.则该圆柱的体积为_(2)(20xx江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示.正视图是一个上底为2.下底为4的直角梯形.俯视图是一个边长为4的等边三角形.则该几何体的体积为_解析(1)法一：由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半.圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半因为四棱锥的底面正方形的边长为.所以底面正方形对角线长为2.所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为.所以四棱锥的高为 2.所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V1.法二：如图所示.在四棱锥VABCD中.O为正方形ABCD的中心.也是圆柱下底面的中心.由四棱锥底面边长为.可得OC1.设M为VC的中点.过点M作MO1OC交OV于点O1.则O1即为圆柱上底面的中心O1MOC.O1OVO.VO 2.O1O1.可得V圆柱O1M2O1O1.(2)把三视图还原成几何体ABCDEF.如图所示.在AD上取点G.使得AG2.连接GE.GF.则把几何体ABCDEF分割成三棱柱ABCGEF和三棱锥DGEF.所以VABCDEFVABCGEFVDGEF4242.答案(1)(2)解题方略 求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式.通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易.或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形.转化为可计算体积的几何体多练强化1(20xx市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. BC.D解析：选B由三视图知.该几何体是一个正方体切去四个三棱锥后所得的.其直观图如图中ABCD所示.由三视图知正方体的棱长为4.正方体的体积为44464.切去三棱锥的长、宽、高均为4.体积为 444.所以所求几何体的体积为644.故选 B.2已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱.侧棱长为5.菱形的对角线的长分别是9和15.则这个棱柱的侧面积是()A30B60C30135D135解析：选A由菱形的对角线长分别是9和15.得菱形的边长为 .则这个棱柱的侧面积为4530.故选A.3已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是1.ABC60.ACBDO.A1C1B1D1O1.点H在线段OB1上.OH3HB1.点M是线段BD上的动点.则三棱锥MC1O1H的体积的最小值为_解析：V三棱锥MC1O1HV三棱锥C1MO1HSM O1Hh(h为C1到平面BDD1B1的距离).由已知可得C1O1平面BDD1B1.又直四棱柱的所有棱长都为1.且ABC60.所以A1B1C1D1是菱形.C1O1.所以V三棱锥MC1O1HO1Hh.其中h为M到直线O1H的距离.O1H是定值.所以h最小时.V三棱锥MC1O1H最小如图.延长O1H交B1B于点F.交OB的延长线于点N.连接OO1.因为.所以.NO.NB.NO1.O1H.M到直线O1H的距离的最小值即B到直线O1H的距离.NF.所以h.所以(V三棱锥MC1O1H)min.答案： 题型一外接球例4(20xx全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上.PAPBPC.ABC是边长为2的正三角形.E.F分别是PA.AB的中点.CEF90.则球O的体积为()A8B4C2D解析因为点E.F分别为PA.AB的中点.所以EFPB.因为CEF90.所以EFCE.所以PBCE.取AC的中点D.连接BD.PD.易证AC平面BDP.所以PBAC.又ACCEC.AC.CE平面PAC.所以PB平面PAC.所以PBPA.PBPC.因为PAPBPC.ABC为正三角形.所以PAPC.即PA.PB.PC两两垂直.将三棱锥PABC放在正方体中如图所示因为AB2.所以该正方体的棱长为.所以该正方体的体对角线长为.所以三棱锥PABC的外接球的半径R.所以球O的体积VR3.故选D.答案D解题方略解决多面体的外接球问题.关键是确定球心的位置.方法是先选择多面体中的一面.确定此面外接圆的圆心.再过圆心作垂直此面的垂线.则球心一定在此垂线上.最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置题型二内切球例5已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计).现从该三棱锥顶端向内注水.小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时.小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切).则小球的表面积等于()A. BC.D解析当注入水的体积是该三棱锥体积的时.设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等).依题意.得x2.易得小三棱锥的高为.设小球半径为r.则S底面4S底面r.得r.故小球的表面积S4r2.故选C.答案C解题方略求解多面体的内切球的问题.一般是将多面体分割为以球心为顶点.多面体的各面为底面的棱锥.利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径题型三与球有关的最值问题例6(20xx全国卷)设A.B.C.D是同一个半径为4的球的球面上四点.ABC为等边三角形且其面积为9.则三棱锥DABC体积的最大值为()A12B18C24D54解析由等边ABC的面积为9.可得AB29.所以AB6.所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R.球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d.则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为246.所以三棱锥DABC体积的最大值为9618.故选B.答案B解题方略多面体与球有关的最值问题.主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题.二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下.截面的最值问题多练强化1已知圆锥的高为3.底面半径为.若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上.则这个球的体积等于()A BC16D32解析：选B设该圆锥的外接球的半径为R.依题意得.R2(3R)2()2.解得R2.所以所求球的体积VR323.故选B.2(20xx福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB3.AC4.ABAC.AA112.则球O的直径为_解析：如图.设BC的中点为D.B1C1的中点为D1.连接DD1.取其中点O.连接AD.A1D1.则DADBDC.D1A1D1B1D1C1.且DD1垂直于