【模型解析】导数在函数中应用模型.doc

【模型解题法】导数在函数中应用模型三平米教育模型思考 “函数”是贯穿高中数学的一条主线，知识点多、覆盖面广、综合性强、思想丰富，很容易与其它知识建立深刻联系，且常考常新，但是,函数题型花样繁多,解题方法层出不穷,这也是我们同学们学习函数的一大烦恼.有没有一种方法能够贯穿于多数函数题型且可以是的方法比较固定呢?于是我们想到导数,“导数”给传统函数问题注入了生机与活力，既拓宽了高考的命题空间，也开辟了新的解题途径,同时在多数函数问题中方法比较统一.精选例题（模型示例）例1（单调性）设函数（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.21世纪教育网 例2（极值问题）设x1和x2是函数f(x)x5ax3bx1的两个极值点.求a和b的值.例3（最值问题）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)，()该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i1ti表示第1月份（i1，2，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？()求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）.例4（利用导数解决恒成立的问题） 设函数，其中常数a1.()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.21世纪教育网 例5（利用导数研究方程的根）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.高手支招（模型例析）例1（单调性）已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减函数，求a的取值范围解模与识模:若f(x)在某区间上可导，则由f(x)0(f(x)0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)x3在R上递增，而f(x)0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)0(0)，且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性求解参数范围问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.第（）小题先求导函数f(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（）小题根据第（）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围. ()由f(x)x3ax2x1，求导得f(x)3x22ax1，当a23时，4(a23)0，f(x)0，f(x)在R上递增，当a23时，由f(x)求得两根为x，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x+0-0+极大值极小值则函数f(x)在区间(，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，)上递增.()由()得，且a23，解得a2. 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第()小题时注意分类讨论.第()小题的解答是根据第()小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第()小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式来求解.例2（极值问题）已知函数f(x)(c0，且c1，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc()求函数f(x)的另一个极值点；()求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围解模与识模:极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确利用导数求极值的原理求解.求函数极值的方法先明确函数所定义范围，求令，解出方程的根列表，检验是否为函数极值极值是指函数在附近有定义，且对于附近所有的点都有（或大于），就是极小（大）值.判别是极大、极小值的方法:（）直接看函数图象，找极值；（）利用导函数的符号变化，找函数极值;即 当函数在点处连续时，判别是极大(小)值的方法：(1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；(2)如果在附近的左侧，右侧.那么是极小值.把带回函数解析式，计算，求出函数极值对于本题，先求导函数f(x)，然后令f(c)0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（）小题；而解答第（）小题须对k与c进行分类讨论来解答.()f(x)，由题意知f(c)0，即得c2k2cck0，即c1 （*）c0，k0由f(-c)0，得kx22xck0，由韦达定理知另一个极值点为x1() 由（*）式得c1，当c1时，k0；当0c1时，k2()当k0时，x-c1-0+0-极小值极大值f(x)在(，c)和(1，)内是减函数，在(c，1)内是增函数f(1)0，mf(c)0，由Mm1及k0，解得k.()当k2时，x-c1+0-0+极大值极小值f(x)在(，c)和(1，)内是增函数，在(c，1)内是减函数Mf(1)0，m0，而Mm11恒成立综上可知，所求的取值范围为(，2)，) 第()小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第()小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.例3（最值问题）已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围解模与识模: 函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题. 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得.由（），只需分下面两种情况讨论. 当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）由（II）知，函数在区间与内都是增函数.由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.例4（利用导数解决恒成立的的不等式问题）设，.求证：当时，恒有.解模与识模:这类问题大致可以分为两类题型，（I）变量与常量类型例如：证明：在内，不等式恒成立即证明 在内，不等式成立 （说明左边的最小值大于a，原结论成立）这里把(变量转化为求常量)（II）变量与变量类型又分为两个小问题第一类问题，例如 证明：不等式恒成立即证明 成立 （左边的最小值大于右边的最大值，原结论成立）第二类问题，例如 证明：不等式恒成立左右都与x的变化相关，解决这种问题，需要把不等式变形，可以“作差”，也可以“作商”（当能判断分母符号时）即转化为 证明（左边是个变量，右边是常量）或转化为 证明对于这道题，根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有例5（利用导数研究方程的根）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m ，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为.当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 21世纪教育网 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）.观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负.线段MP与曲线是否有异于M、P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为 21世纪教育网 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点.当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点21世纪教育网 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为模型归纳在用导数解决函数中的单调性问题、极值问题、最值问题和恒成立的不等式问题.在解决这些题型时，首先通过导数分析函数的性质，其步骤是：确定函数的定义区间，求函数f(x)导函数f(x)求方程f(x)=0的根 用函数的导数为0的点，由小到大顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成表格.判断f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值. 列出随x的变化的符号及的变化情况的表格，直观反映函数的性质.注：利用导数求函数的最值依据:表格中能使f(x)0的区间是函数的增区间，能使f(x)0的区间是函数的减区间.求函数f(x)的极值的依据:依据随x的变化的符号及的变化情况的表格分析得到函数的极值.利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值利用导数解决恒成立的不等式问题依据:函数在区间（a,b）上单调递增等价于函数在区间（a,b）上恒有;函数在区间（a,b）上单调递减等价于函数在区间（a,b）上恒有.模型演练（巩固、延伸、拓展）1设函数f(x)2x33(a1)x21，其中a1.()求f(x)的单调区间；()讨论f(x)的极值.解：由已知得f(x)6xx(a1)，令f(x)0，解得 x10,x2a1，.（）当a1时，f(x)6x2，f(x)在(,)上单调递增当a1时，f(x)6xx(a1)，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(,0) 0(0,a1) a1(a1,) f(x)00f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在(,0)上单调递增；在(0,a1)上单调递减；在(a1,)上单调递增.由（）知，当a1时，函数f(x)没有极值.；当a1时，函数f(x)在x0处取得极大值，在xa1处取得极小值1(a1)3.2已知定义在R上的函数f(x)x2(ax3)，其中a为常数.()若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；()若函数f(x)在区间（1，0）上是增函数，求a的取值范围.解：()f(x)ax33x，f(x)3ax26x3x(ax2),x1是f(x)的一个极值点，f(1)0，a2；()当a0时，f(x)3x2在区间（1，0）上是增函数，a0符合题意；当a0时，f(x)3ax(x)，由f(x)0，得x0，x当a0时，对任意x(1，0)，f(x)0，a0符合题意；当a0时，当x(，0)时，由f(x)0，得1，2a0符合题意；综上所述，a2.3设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11，(1)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax(2)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，14已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.（）求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；（）是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由.解：（I）f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是(0，5)，可设f(x)ax(x5)(a0)，f(x)在区间1，4上的最大值是f(1)6a，由已知，得6a12，a2，f(x)2x(x5)2x210x(xR). （II）方程f(x)0等价于方程2x310x2370，设h(x)2x310x237，则h(x)6x220x2x(3x10)，当x(0，)时，h(x)0，h(x)是减函数；当x(，)时，h(x)0，h(x)是增函数，h(3)10，h()0，h(4)50，方程h(x)0在区间(3，)、(，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，)内没有实数根，所以存在惟一的自然数m3，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不同的实数根.5设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，. 当时，在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增.（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点.（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极