高二数学必修5 简单的线性规划1 课件.ppt

汉寿三中艾镇南2008 10 24 1 一 复习回顾 1 在同一坐标系上作出下列直线 2x y 0 2x y 1 2x y 3 2x y 4 2x y 7 x y o 简单线性规划 1 可行域上的最优解 y 问题1 x有无最大 小 值 问题2 y有无最大 小 值 问题3 2x y有无最大 小 值 2 作出下列不等式组的所表示的平面区域 二 提出问题 把上面两个问题综合起来 设z 2x y 求满足 时 求z的最大值和最小值 y 直线l越往右平移 t随之增大 以经过点a 5 2 的直线所对应的t值最大 经过点b 1 1 的直线所对应的t值最小 可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到 思考 还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大 最小值 线性规划 问题 设z 2x y 式中变量满足下列条件 求z的最大值与最小值 目标函数 线性目标函数 线性约束条件 象这样关于x y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件 z 2x y称为目标函数 因这里目标函数为关于x y的一次式 又称为线性目标函数 线性规划 线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 可行解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 可行域 2x y 3 2x y 12 1 1 5 2 线性目标函数 线性约束条件 线性规划问题 任何一个满足不等式组的 x y 可行解 可行域 所有的 最优解 目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数 线性规划 例1解下列线性规划问题 求z 2x y的最大值和最小值 使式中x y满足下列条件 解线性规划问题的一般步骤 第一步 在平面直角坐标系中作出可行域 第二步 在可行域内找到最优解所对应的点 第三步 解方程的最优解 从而求出目标函数的最大值或最小值 探索结论 2x y 0 2x y 3 2x y 3 答案 当x 1 y 1时 z 2x y有最小值 3 当x 2 y 1时 z 2x y有最大值3 也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到 线性规划 例2解下列线性规划问题 求z 300 x 900y的最大值和最小值 使式中x y满足下列条件 探索结论 x 3y 0 300 x 900y 0 300 x 900y 112500 答案 当x 0 y 0时 z 300 x 900y有最小值0 当x 0 y 125时 z 300 x 900y有最大值112500 例3 某工厂用a b两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲种产品使用4个a配件耗时1h 每生产一件乙种产品使用4个b配件耗时2h 该厂每天最多可从配件厂获得16个a配件和12个b配件 按每天工作8小时计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 若生产1件甲种产品获利2万元 生产1件乙种产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 把例3的有关数据列表表示如下 将上面不等式组表示成平面上的区域 区域内所有坐标为整数的点p x y 安排生产任务x y都是有意义的 解 设甲 乙两种产品分别生产x y件 由己知条件可得 问题 求利润2x 3y的最大值 线性约束条件 若设利润为z 则z 2x 3y 这样上述问题转化为 当x y在满足上述约束条件时 z的最大值为多少 当点p在可允许的取值范围变化时 m 4 2 问题 求利润z 2x 3y的最大值 变式 若生产一件甲产品获利1万元 生产一件乙产品获利3万元 采用哪种生产安排利润最大 n 2 3 变式 求利润z x 3y的最大值 解线性规划应用问题的一般步骤 2 设好变元并列出不等式组和目标函数 3 由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域 4 在可行域内求目标函数的最优解 1 理清题意 列出表格 5 还原成实际问题 准确作图 准确计算 画出线性约束条件所表示的可行域 画图力保准确 法1 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 法2 算 线性目标函数的最大 小 值一般在可行域的顶点处取得 也可能在边界处取得 当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上 此法可弥补作图不准的局限 例4 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 硝酸盐18t 生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 硝酸盐15t 现库存磷酸盐10t 硝酸盐66t 在此基础上生产这两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 并计算生产甲 乙两种肥料各多少车皮 能够产生最大的利润 分析 设x y分别为计划生产甲 乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 x y o 解 设生产甲种肥料x车皮 乙种肥料y车皮 能够产生利润z万元 目标函数为z x 0 5y 约束条件为下例不等式组 可行域如图红色阴影部分 把z x 0 5y变形为y 2x 2z 它表示斜率为 2 在y轴上的截距为2z的一组直线系 x y o 由图可以看出 当直线经过可行域上的点m时 截距2z最大 即z最大 答 生产甲种 乙种肥料各2车皮 能够产生最大利润 最大利润为3万元 m 容易求得m点的坐标为 2 2 则zmax 3 线性约束条件 三 课堂练习 1 已知求z 2x y的最大值和最小值 5 5 1 o x y y x 0 x y 1 0 1 1 y 1 0 a 2 1 b 1 1 练习2 已知求z 3x 5y的最大值和最小值 5 5 1 o x y 1 1 5x 3y 15 x 5y 3 y x 1 a 2 1 b 3 2 5 2 练习3 某工厂生产甲 乙两种产品 生产1t甲种产品需要a种原料4t