2018-2019学年长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题一、单选题1已知不等式的解集为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解一元二次不等式得集合即可.【详解】解不等式，得或，所以不等式的解集为.故选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2已知向量，满足，则（ ）A3B2C1D0【答案】D【解析】利用向量的模长及运算法则，计算即可.【详解】向量，满足，则.故选：D.【点睛】本题考查了向量的模长和数量积及运算的法则，属于基础题.3等差数列中，则数列前10项和的值为（ ）ABC20D10【答案】B【解析】由等差数列前n项和公式和等差数列的性质求出结果即可【详解】在等差数列中，该数列前10项和：S10故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和的求法，注意等差数列性质的合理运用，属于基础题4函数是A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】试题分析：本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为的奇函数解：f（x）=2sinxcosx=sin2x，f（x）为周期为的奇函数，故选C【考点】二倍角的正弦5要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A向左平移1个单位B向右平移1个单位C向左平移 个单位D向右平移个单位【答案】C【解析】ycos2x向左平移个单位得ycos2(x)cos(2x1)，选C项6在RtABC中，C90，AC4，则等于( )A16B8C8D16【答案】D【解析】因为C90，所以0，所以()|2AC216.7“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为ABCD【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.8设变量，满足，则的最大值为（ ）A55B45C35D25【答案】A【解析】画出满足约束条件的平面区域，结合目标函数的几何意义，令，求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可【详解】变量，满足约束条件 的平面区域，如图所示：令，可得，则为直线在轴上的截距，截距越大，越大，作直线l：，把直线向上平移可得过点D时，最大，由可得x5，y15，此时.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题9已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若，则（ ）A2BCD【答案】B【解析】根据条件求出的值，结合函数图象变换关系求出的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可【详解】的最小正周期为，得2，则f（x）Asin2x，将yf（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为则Asinx，若g（），则g（）AsinA，即A2，得，则f（）2sin（2）2sin2.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，的值是解决本题的关键，属于基础题10若,是第三象限的角,则（ ）ABC2D-2【答案】A【解析】试题分析：，为第三象限，,【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式11已知中，为边上一点，若的面积为，则（ ）ABCD0【答案】A【解析】利用的面积求得DC，进而根据余弦定理求得AB和AC，在中利用余弦定理求得的值【详解】由已知条件得，在中，由余弦定理得AB2AD2+BD22ADBDcos120，.在中，由余弦定理得AC2AD2+CD22ADCDcos60，.在中，由余弦定理得.故选：A.【点睛】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积，余弦定理等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力以及相应的运算能力，属于中档题二、填空题12若，则_【答案】【解析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值【详解】，故答案为【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题13等比数列中，则的公比为_.【答案】2【解析】利用等比数列通项公式计算即可.【详解】在等比数列中，设的公比为，则，所以.故答案为：2.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.14已知，是圆上的三点，若，则_.【答案】【解析】根据向量加法的运算及圆直径的性质，即可得到结论【详解】已知，是圆上的三点，若，设为的中点，则，且，即,得为圆的直径.所以点与点重合，即，得.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量加法的运算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，属于基础题15设，若时均有，则_.【答案】【解析】当a1时，不等式不可能恒成立；当a1，若对任意的x0时均有，则构造函数y1（a1）x1，y2x23ax1，与x轴交于同一点，代入可得答案【详解】当a1时，代入题中不等式得，明显不恒成立，舍当a1，构造函数y1（a1）x1，y2x23ax1，它们都过定点P（0，1）在函数y1（a1）x1中，令y0，得M（，0）；在函数y2x23ax1，x0时，均有成立，又y2x23ax1开口向上，随着的增加，y20成立，所以a10.y2x23ax1显然过点M（，0），代入得：（）23a10，解之得：a或a0（舍去）故答案为：.【点睛】本题考查的知识点为函数不等式恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，属于中档题三、解答题16已知等差数列满足：，.（1）求；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）得，再利用“裂项相消法求和”即可得出【详解】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，由于，解得，；（2）由（1）知an2n+1，因此Tnb1+b2+bn+所以.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17在平面直角坐标系中，己知向量，向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）由已知向量的坐标，结合向量垂直的坐标运算可求tanx的值；（2）由向量平行的坐标运算得，sinx+cosx0，解出tanx，结合x的范围再求出x；【详解】（1）己知向量，向量，若，则，即，得sinxcosx，tanx1；（2），sinx+cosx0，即sinx+cosx0，tanx1，x【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，向量的位置关系与数量积的关系，属于基础题18某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.（1）求实验室这一天的最高温度；（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）；（2）10时到18时【解析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=102sin（t+），t0，24），利用正弦函数的定义域求得f（x）的最大值；（2）由题意可得，当f（t）11时，需要降温，由f（t）11，求得sin（t+），即 t+，解得t的范围，可得结论【详解】（1）f（t）10102（cost+sint）102sin（t+），t+，故当t+时，即t14时，函数取得最大值为10+212.实验室这一天的最高温度.（2）由题意可得，当f（t）11时，需要降温，由（1）可得f（t）102sin（t+），由102sin（t+）11，求得sin（t+），t+，结合正弦函数的图象可得 t+，解得10t18，即在10时到18时，需要降温【点睛】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题19的内角，所对的边分别为，.（1）若，成等差数列，求的值；（2）若，成等比数列，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由a，b，c成等差数列，可得2ba+c，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得解（2）由a、b、c成等比数列，则b2ac，由余弦定理和基本不等式，即可得到的最小值.【详解】（1）a，b，c成等差数列，2ba+c，由正弦定理得：2sinBsinA+sinC，且，2sin（A+C）sinA+sinC，sinBsin（A+C）0，；（2）a，b，c成等比数列，b2ac，cosB，当且仅当取等号，所以的最小值为.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，等差数列，等比数列的性质及运用，考查基本不等式的运用求最值，属于基础题20等比数列满足：，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若不等式成立的正整数恰有4个，求正整数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用等比数列的通项公式计算即可；（2）结合条件对n进行分类讨论，当时利用分离常数法化简得，利用取特值和做商法判断出的单调性，再判断出的单调性，根据条件即可求出正整数p的值【详解】（1）已知等比数列满足：，设公比为，且，成等差数列，得，解得，或（舍）.所以，即；（2）由（1）得，当n1、2时，上式一定成立；当时，化简，当n3时，当n4时，4.8，当n5时，当n6时，设bn，则2（1），当n4时，2（1），则1，当n4时，bn随着n的增大而增大，则随着n的增大而减小，不等式成立的正整数恰有4个，即n1、2、4、5，正整数的值为3【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了累加法的应用及方程思想与分类讨论的思想应用，属于中档题21水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.【答案】（1）4天；（2）【解析】（1）营养液有效则需满足y4，由分段函数，对x讨论，解不等式即可得到结论；（2）通过化简、利用基本不等式可知在4，7上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b的最小值【详解】（1）已知