高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点课堂导学案.docx

2.4.1 函数的零点课堂导学三点剖析一、考查函数零点的概念【例1】求下列函数的零点.(1)f(x)=kx+b(k0);(2)f(x)=2x2-5x+2;(3)f(x)=x3+2x-3.思路分析：求函数的零点即是求f(x)=0的根，分解因式即可.解:(1)f(x)=k(x+),零点为.(2)f(x)=(x-2)(2x-1),零点为2、.(3)f(x)=x3-1+2x-2=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)=(x-1)(x2+x+3)，x2+x+3=(x+)2+0恒成立，f(x)零点为1.二、利用零点的性质求参数【例2】函数y=x2+2px+1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围.思路分析：二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究.解法一:记f(x)=x2+2px+1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，必有f(1)0,即12+2p+10.p-1.p的取值为(-,-1).解法二:设y=x2+2px+1的零点为x1、x2,则得p-1.三、应用函数零点【例3】求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.思路分析：证明方程5x2-7x-1=0的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点.证明:设f(x)=5x2-7x-1=0,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.由于f(-1)f(0)=-110,f(1)f(2)=-150,且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,f(x)的图象在(-1,0)和(1,2)上分别有交点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在(-1,0)内,另一个在(1,2)内.温馨提示 判断函数f(x)是否在(x1,x2)上存在零点,除验算f(x1)f(x2)0是否成立外,还需考查函数的图象在(x1,x2)上是否连续不断.若判断根的个数问题,还需结合函数的单调性进行.各个击破类题演练1求下列函数的零点.(1)f(x)=x3+1;(2)f(x)=.解析：(1)f(x)=(x+1)(x2-x+1),f(x)零点为-1.(2)f(x)=,令=0,得x=-1.f(x)零点为-1.变式提升1若f(x)=ax-b(b0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是_.解析：f(x)=ax-b的零点是3,f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a.g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1).g(x)零点为-1,0.答案：-1,0类题演练2已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点小于1,另一个零点在1与2之间.求实数a的取值范围.解析：函数的大致图象如图,则即0a1或-2a-.变式提升2m为何实数时，函数f(x)=mx2-(1-m)x+m有零点？解析：若m=0，函数为f(x)=-x,有零点x=0.当m0时，由已知，=(1-m)2-4m20.3m2+2m-10.-1m且m0.综上，当m-1,时，函数有零点.类题演练3若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则f(-1)f(1)的值( )A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断解析：由于函数f(x)在(-2,2)上的图象是连续的,且f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则有f(2)f(-2)0.若f(1)f(-1)0,则f(x)在(-1,1)上必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)上必有根;反之,由f(2)f(-2)0,却不一定有f(1)f(-1)0,如图所示.选D.答案：D变式提升3若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的取值范围.解析：(1)a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知函数仅有