2.2.2反证法B.ppt

复习 1 直接证明的两种基本证法 综合法和分析法 2 这两种基本证法的推证过程和特点 由因导果 执果索因 3 在实际解题时 两种方法如何运用 通常用分析法寻求思路 再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 证 证明 要证只需证只需证只需证只需证因为成立 所以成立 3 设a b 0 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 法一 分析法 要证a3 b3 a2b ab2成立 即需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 又因a b 0 故只需证a2 ab b2 ab成立 即需证a2 2ab b2 0成立 即需证 a b 2 0成立 而依题设a b 则 a b 2 0显然成立 由此命题得证 法二 综合法 a b a b 0 a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 ab b2 ab a 0 b 0 a b 0 a b a2 ab b2 ab a b a3 b3 a2b ab2 2 2直接证明与间接证明 2 2 2反证法 路边苦李 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 伙伴问他为什么不去摘 小故事 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下 果然是苦李 王戎是怎么知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 1 如果有5只鸽子飞进两只鸽笼 至少有3只鸽子在同一只鸽笼 对吗 2 A B C三个人 A说B撒谎 B说C撒谎 C说A B都撒谎 则C在撒谎吗 为什么 分析 假设C没有撒谎 则A B都撒谎 由A撒谎 知B没有撒谎 那么假设C没有撒谎不成立 则C必定是在撒谎 这与B撒谎矛盾 思考 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注 反证法是最常见的间接证法 一般地 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 理论 反证法的证明过程 否定结论 推出矛盾 肯定结论 即分三个步骤 反设 归谬 存真 反设 假设命题的结论不成立 存真 由矛盾结果 断定反设不成立 从而肯定原结论成立 归谬 从假设出发 经过一系列正确的推理 得出矛盾 用反证法证明命题的过程用框图表示为 肯定条件否定结论 导致逻辑矛盾 反设不成立 结论成立 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 准确地作出反设 即否定结论 是非常重要的 下面是一些常见的结论的否定形式 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有 n 1 个 至少有 n 1 个 存在某个x 不成立 存在某个x 成立 不等于 某个 例1 已知 整数a的平方能被2整除 求证 a是偶数 证明 假设a不是偶数 则a是奇数 不妨设a 2n 1 n是整数 a2 2n 1 2 4n2 4n 1 4n n 1 1 a2是奇数 与已知矛盾 假设不成立 所以a是偶数 注 直接证明难以下手的命题 改变其思维方向 从反面进行思考 问题可能解决得十分干脆 例题 例2用反证法证明 如果a b 0 那么 注 直接证明难以下手的命题 改变其思维方向 从结论入手进行反面思考 问题可能解决得十分干脆 例题 例3已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 证 由于a 0 因此方程至少有一个根x b a 注 结论中的有且只有 有且仅有 形式出现 是唯一性问题 常用反证法 如果方程不只一个根 不妨设x1 x2 x1 x2 是方程的两个根 例4求证 是无理数 例5 设0 a b c 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不可能同时大于1 4 则三式相乘 1 a b 1 b c 1 c a 又 0 a b c 1 同理 以上三式相乘 1 a a 1 b b 1 c c 与 矛盾 结论成立 例6 证明质数有无穷多个 证明 假定质数只有有限多个 设全体质数为p1 p2 p3 pn 令p p1p2p3 pn 1 显然p不含因数p1 p2 p3 pn p要么是质数 要么含有除p1 p2 p3 pn之外的质因数 因此质数只有有限多个不成立 于是质数有无穷多个 例7 证明1 2不能为同一等差数列的三项 证明 假设1 2是某一等差数列中的三项 设这一等差数列的公差为d 则 1 md 2 nd 其中m n为某两个正整数 由上两式中消去d 得到n 2m n m 因为n 2m为有理数 m n 为无理数 所以n 2m n m 因此假设不成立 1 2不能为同一等差数列中的三项 例8 平面内有四个点 没有三点共线 证明 以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形 记四个点为A B C D 考虑点D在之内或之外两种情况 1 如果点D在之内 根据假设 都为锐角三角形 所以 这与一个周角为360 矛盾 例8 平面内有四个点 没有三点共线 证明 以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 2 如果点D在之外 根据假设 都是锐角三角形 即 这与四边形内角和矛盾 所以 综上所述 假设不成立 从而题目结论成立 即这些三角形不可能都为锐角三角形 例9 设a3 b3 2 求证a b 2 证明 假设a b 2 则有a 2 b 从而a3 8 12b 6b2 b3 a3 b3 6b2 12b 8 6 b 1 2 2 因为6 b 1 2 2 2 所以a3 b3 2 这与题设条件a3 b3 2矛盾 所以 原不等式a b 2成立 反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立 从假设出发 经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 分清条件和结论 归纳总结 三个步骤 反设 归谬 存真 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 1 直接证明有困难 正难则反 归纳总结 哪些命题适宜用反证法加以证明 3 唯一性命题 2 否定性命